Найти мощность множества

[Bonaqua]

Отделено

Даже если и конкурс закончился, было бы неплохо продолжить эту интереснейшую игру.
Позвольте, тогда начну.

Задача №284.

На множестве $\mathbb R^\mathbb R$ (множество функций $\mathbb R$ → $\mathbb R$) задано отношение эквивалентности $\Omega $:

$f\sim g((f,g)\in\Omega)\Leftrightarrow f - g \equiv const$

Какова мощность множества классов эквивалентности $\Omega$ и доказать, что это множество вообще имеет данную мощность.

[arseniiv]

(Какая-то чересчур простая.)

Вместе с каждой функцией в класс эквивалентности входит ещё континуум функций, соответствующих остальным значениям той $\mathrm{const}$. Мощность $\mathbb R^{\mathbb R}$, равная $2^{\mathfrak c}$, равна произведению $\mathfrak c$ и неизвестной мощности $\Omega$. Сразу видно, что это $2^{\mathfrak c}$, т. к. остальные дадут другое значение произведения.

Вряд ли этой задаче — сюда.

[Bonaqua]

arseniiv в сообщении #820466 писал(а):

(Какая-то чересчур простая.)

Вместе с каждой функцией в класс эквивалентности входит ещё континуум функций, соответствующих остальным значениям той $\mathrm{const}$. Мощность $\mathbb R^{\mathbb R}$, равная $2^{\mathfrak c}$, равна произведению $\mathfrak c$ и неизвестной мощности $\Omega$. Сразу видно, что это $2^{\mathfrak c}$, т. к. остальные дадут другое значение произведения.

Вряд ли этой задаче — сюда.

Честно? Потрясен.
Думал это профанский математический форум, помогающий школьникам с домашним заданием, а вы мне доказали обратное. Спасибо, учту, что подобные задачи у вас не вызывают особого затруднения; а мне, вот, пришлось минут 20 вспоминать мощность множеств и подобное.
Что же, ваш ход, товарищ arseniiv.

[arseniiv]

Bonaqua в сообщении #820484 писал(а):

Думал это профанский математический форум, помогающий школьникам с домашним заданием

Странно. Каким выборочным просмотром тем вы получили такое впечатление?

Bonaqua в сообщении #820484 писал(а):

Что же, ваш ход, товарищ arseniiv.

А я не очень хорошо задачи придумываю (можете поискать здесь по темам моего авторства). К тому же, конкурс с призами кончился, а для конкурса без призов стоит, думаю, открывать другую тему.

[Xaositect]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #820466 писал(а):

Мощность [...] $2^{\mathfrak c}$ равна произведению $\mathfrak c$ и неизвестной мощности $\Omega$. Сразу видно, что это $2^{\mathfrak c}$, т. к. остальные дадут другое значение произведения.

Это, вообще говоря, некоторое нетривиальное утверждение (для док-ва можно использовать $ab = \mathrm{max}(a,b)$ для бесконечных кардиналов). Значительно легче сказать, что классов эквивалентности столько же, сколько функций, равных, например, нулю в нуле.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Xaositect в сообщении #820571 писал(а):

для док-ва можно использовать $ab = \mathrm{max}(a,b)$ для бесконечных кардиналов

Ага, я его как раз подразумевал.

Xaositect в сообщении #820571 писал(а):

Значительно легче сказать, что классов эквивалентности столько же, сколько функций, равных, например, нулю в нуле.

Не могу сразу додуматься, почему их не меньше $2^{\mathfrak c}$…

[Xaositect]

arseniiv в сообщении #820670 писал(а):

Не могу сразу додуматься, почему их не меньше $2^{\mathfrak c}$…

Потому что это то же самое, что функции на объединении двух лучей, а $\mathfrak{c} + \mathfrak{c} = \mathfrak{c}$. Или как вариант, их не меньше, чем функций на одном луче :)

[arseniiv]

А, дошло.