Формула Тейлора

[Ubermensch]

Пропустил некоторое количество лекций по матану. Захотел на каникулах разобрать их, но не получается. Выделил 2 основных пункта. Хочу разобраться с ними, а потом двигаться дальше.
Объясните, как выводится формула Тейлора.
Вопросы по Зоричу($3, гл. 5, 2. Формула Тейлора):
1. "из той части дифф. исчисления, которая уже изложена, могло возникнуть верное представление о том, что чем больше производных совпадает у двух функций в некоторой точке, тем лучше эти функции аппроксимируют друг друга в окрестности этой точки."
На основании чего должно было возникнуть такое представление? И я не понимаю, что значит "аппроксимируют"
2. Я вообще не понимаю, откуда в рассуждения взялись полиномы. Как вообще связать функцию и полином.

Пробовал читать Фихтенгольца, но опять же полиномы. Я наверное что-то важное пропустил, раз не понимаю, откуда это.

[mihailm]

Там же не написано обязано возникнуть, только могло)

Ubermensch в сообщении #820419 писал(а):

...могло возникнуть верное представление о том, что чем больше производных совпадает у двух функций в некоторой точке, тем лучше эти функции аппроксимируют друг друга в окрестности этой точки."...

...могло возникнуть верное представление о том, что чем больше производных совпадает у двух функций в некоторой точке, тем меньше отличаются эти функции в окрестности этой точки."...

[Munin]

"Аппроксимируют" = "приближают". То есть, приближённо совпадают друг с другом. "Лучше" = с меньшей погрешностью в пределах указанной окрестности, и на большей окрестности в пределах указанной погрешности (подразумевается, что и окрестность, и погрешность малы).

[Ubermensch]

А можно ли графически показать "аппроксимирацию"?
Если две прямые пересекаются в точке $(x, y)$, то в этой точке они аппроксимируют друг друга?

[arseniiv]

Бесполезно говорить об «аппроксимации в точке». В одной точке функции, если они обе там определены, могут быть или равны, или не равны — ничего нового аппроксимация туда не внесёт.

Ubermensch в сообщении #820432 писал(а):

А можно ли графически показать "аппроксимирацию"?

Например, нарисуйте вместе графики косинуса и $1 - \frac{x^2}2 + \frac{x^4}{24}$. Многочлен аппроксимирует косинус вокруг нуля.

[mihailm]

Ubermensch в сообщении #820432 писал(а):

...Если две прямые пересекаются в точке $(x, y)$, то в этой точке они аппроксимируют друг друга?

да конечно, точность правда невысока

[Ubermensch]

arseniiv, а $\sin x$ аппроксимируется с $x$? в окрестности $0$?

А что с остальными вопросами?

-- 29.01.2014, 20:07 --

mihailm в сообщении #820458 писал(а):

Ubermensch в сообщении #820432 писал(а):

...Если две прямые пересекаются в точке $(x, y)$, то в этой точке они аппроксимируют друг друга?

да конечно, точность правда невысока

получается, что можно сказать, что два любых графика, определенные в какой-нибудь точке, аппроксимируют друг друга в этой точке, другое дело - точность аппроксимирации?

[Nemiroff]

Немножко ликбеза из другой ветки.
post808935.html#p808935

[mihailm]

порядок касания в точке - более менее официальный термин

[Munin]

Кроме полиномов, широко используют и другие аппроксимации. И не обязательно касательные: можно чуть отступить от касательной, чтобы ухудшить точность в одном месте, но улучшить в другом.

Самый простой способ получить функцию для аппроксимации - это суммы и ряды. Он используется практически повсеместно. Если мы выбрали этот способ, то дальше надо выбрать только семейство базисных функций, которые будем суммировать с переменными коэффициентами. И здесь самый простой выбор - это степенные функции, а их суммы будут полиномами. Но вот здесь уже возникают много других вариантов. Можно взять синусоиды и косинусоиды - тогда у нас будут тригонометрические суммы и ряды. Можно взять ещё какие-нибудь функции (часто это спецфункции из задач математической физики: функции Бесселя, функции Эйри, полиномы Лежандра, и т. п. - их очень много разных).

Аппроксимация - очень часто встречающаяся операция при обработке экспериментальных данных. Тогда она называется fit.

[Ubermensch]

То есть в некоторой окрестности точки полином приблизительно равен функции?
А откуда брать этот полином?

Вот в конспекте написано:
Рассмотрим задачу о локальном представлении функции в виде многочлена: $f(x)=P_n(x)+o((x-a)^n), x \to a$
Откуда здесь взять полином? И откуда $o((x-a)^n)$. И какую роль играет последнее?

А еще лучше, укажите, что я должен повторить и знать в рамках первого семестра мехмата, чтобы разобраться в этой теме. Потому что пропустил где-то недели 2-3 матана. Вроде все перечитал, но может что упустил. Кстати, ряды мы не проходили.

[bot]

Ubermensch в сообщении #820639 писал(а):

Откуда здесь взять полином? И откуда $o((x-a)^n)$

Так ведь задача такая ставится. Найти полином, чтоб так было. Существует ли он, при каких условиях на функцию и однозначно ли находится?

[provincialka]

Ubermensch в сообщении #820639 писал(а):

А откуда брать этот полином?

Из догадки о том, что производные близких функций совпадают в некоторой точке. Но эту догадку надо, конечно, потом проверить, доказать.

-- 30.01.2014, 16:00 --

Вот пример. Рассмотрим поведение функции $f(x)=\sqrt x$ при $x$ близких к 1. При малых $x$ Имеем $\sqrt{1+x}\approx 1$. Насколько отличаются эти функции?
Будем везде далее считать, что $x\to0$. Имеем $\sqrt{1+x}- 1=\frac{x}{\sqrt{1+x}+ 1}\sim\frac {x}{2}$. То есть $\sqrt{1+x}- 1=\frac {x}{2}+o(x)$ и

$$\sqrt{1+x}= 1+\frac {x}{2}+o(x)$$

Далее, $\sqrt{1+x}- 1-\frac {x}{2} =\frac{x}{\sqrt{1+x}+ 1}-\frac {x}{2}=x\frac{1-\sqrt{1+x}}{2(\sqrt{1+x}+1)}\sim \frac{x\cdot\frac{-x}{2}}{4}=-\frac{x^2}{8}$. Заменяем эквивалентность на асимптотическое равенство и получаем, что

$$\sqrt{1+x}= 1+\frac {x}{2} -\frac{x^2}{8}+o(x^2)$$

. И так далее.
Как видите, функцию "корень" можно со все увеличивающейся точностью заменит полиномами. Но "добыча" каждого нового слагаемого требует все больших усилий. Кроме того, нам помогают алгебраические свойства функции $f$. В общем случае поиск такого полинома затруднен. Тут и приходит на помощь теория, которая позволяет легко выразить искомые коэффициенты через производные функции $f$

[Ubermensch]

Вау, теперь понятно, откуда взялись полиномы.

[Евгений Машеров]

0. "Аппроксимация" - то же, что "приближение". Proximae - "ближайший". Просто слово "приближение" в русском языке достаточно многозначно, например, может означать перемещение в пространстве, и это оправдывает использование иноязычных синонимов, у которых смысл определяется при их введении в терминологию.
1. Полиномы появились потому, что сложение учат в первом классе, а умножение в третьем. То есть функции, которые можно выразить, ограничиваясь лишь этими операциями, в определённом смысле самые простые. Их легко вычислять на ЭВМ (особенно на специализированных процессорах, сигнальных, скажем, на некоторых из которых вообще деления нет, а на других есть, но оно медленное, к примеру 16 тактов против 1 для умножения). Их просто дифференцировать и интегрировать. Но это не единственный класс функций, которыми аппроксимируют. В любом случае речь о том, что аппроксимация чем-то удобнее исходной функции - вычислять проще, или, скажем, легко получить результат действия каких-то операций (того же дифференцирования, или, скажем, линейной фильтрации - тут удобнее аппроксимировать тригонометрическими функциями). Полиномы (и вообще ряд Тейлора) удобнее для ряда задач. Но не единственный выбор.
2. Простейшая аппроксимация, позволяющая что-то сказать о значении функции в произвольной точке x, зная её поведение в какой-то одной точке $x_0$. это принимать значение функции в любой точке равным $f(x_0)$. Понятно, что это очень грубая аппроксимация, и чем дальше x от $x_0$, тем она хуже. Но у нас может быть доступно значение производной в этой точке. Производная показывает изменение функции при бесконечно малом изменении аргумента, и добавка слагаемого с производной точной аппроксимацию не сделает, разве что производная - постоянна. Если она приблизительно постоянна при малых изменениях x, то уже член первого порядка ряда Тейлора аппроксимацию улучшит. Но чем больше изменение x, тем больше меняется и производная. Но у нас есть "скорость изменения производной" - вторая производная. Второй член ряда Тейлора и учитывает, зная вторую производную, как меняется производная по мере отхода от точки $x_0$. Третий, четвёртый и т.п. - позволяют давать всё более точную аппроксимацию (при определённых условиях).