Расширение релятивистского газа в полупространство

[Mitrandir]

Здравствуйте,
решая задачу о расширении релятивистского газа в полупространство дошел до интеграла:
$\int\limits_a\limits^{\inf} \exp(-bx)x\sqrt{x^2-1}dx$
($a = a(y,t) $- некоторая функция от переменно интегрирования не зависящая)
есть ли какой-нибудь способ взять этот интеграл?

[Ms-dos4]

В случае произвольного параметра $\[a\]$ видимо нет. Если $\[a = 1\]$, то используя представление модифицированной функции Бесселя второго рода$\[{K_n}(z) = \frac{{\sqrt \pi }}{{\Gamma (n + \frac{1}{2})}}\int\limits_1^\infty {{{({\xi ^2} - 1)}^{n - \frac{1}{2}}}{e^{ - z\xi }}d\xi } \]$ (которое верно при при $\[{\mathop{\rm Re}\nolimits} n > - \frac{1}{2}\]$) , полагая n=1 можно получить $\[\int\limits_1^\infty {x\sqrt {{x^2} - 1} {e^{ - bx}}dx} = \frac{1}{b}{K_2}(b)\]$. В случае a=0 аналитическое решение тоже можно проделать, использовав другое представление, ответ будет суммой нескольких (различных) функций Бесселя. А если серьёзно - считайте численно (интегрировать ряд это по моему несерьёзно).

[Mitrandir]

Изначально в нижнем пределе интеграла была 1, но интеграл был:
$\int\limits_1\limits^{\inf} \exp(-bx)x\sqrt{x^2-1}\Theta(-\sqrt{x^2-1}-\dfrac{yx}{ct})dx$
$\Theta()$ - функция Хевисайда.
А раз уж интеграл не берется, буду делать упрощения. Спасибо.

[Ms-dos4]

Mitrandir
Если абстрагироваться от физики, то учитывая определение функции Хевисайда $\[\Theta ( - \sqrt {{x^2} - 1} - \frac{{yx}}{{ct}}) = 1\]$ при $\[ - \sqrt {{x^2} - 1} - \frac{{yx}}{{ct}} > 0\]$, а если $\[ - \sqrt {{x^2} - 1} - \frac{{yx}}{{ct}} < 0\]$, то $\[\Theta ( - \sqrt {{x^2} - 1} - \frac{{yx}}{{ct}}) = 0\]$. Выразив $\[y\]$ и перейдя к пределу $\[x \to \infty \]$, в случае если $\[y < - ct\]$ интеграл будет равен $\[\frac{1}{b}{K_2}(b)\] $. Если же нет, то в случае $\[y > 0\]$ интеграл равен 0, в других случаях (а к сожалению, ваш "физичный" случай относится именно к ним) аналитически взять его вряд ли возможно.