Помогите с рядом.

[DiMath]

Здравствуйте!
Необходимо доказать или опровергнуть следующее:
Для любого $x>0$

$$\sum \limite_{n=1}^{\infty} (\frac{2x}{p_n^2-x^2})+\sum\limite_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n^2-x})\neq 0$$

где $p_n$ - последовательность простых чисел.
Вторую сумму я смог выразить так:

$$\sum\limite_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n^2-x})=\frac{\pi\sqrt x\ctg(\pi\sqrt x)-1}{2x}$$

А что делать с первой не знаю. Заметил, что:

$$\frac{2x}{p_n^2-x^2}=\frac{1}{p_n-x}-\frac{1}{p_n+x}$$

Но толку мало, т.к. суммы по отдельности расходятся. Попробовал оценить, рассуждая следующим образом:

$$\forall n \in \mathbb{N} :p_n>n \Rightarrow \forall a>0: \frac{1}{p_n^2-a}<\frac{1}{n^2-a}\Rightarrow \sum \limite_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{p_n^2-x^2})<\sum\limite_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n^2-x^2}) $$

Тут видимо тоже тупик.
Подскажите, может можно как то построить график? Не представляю где это сделать, возможно в MathLab, но его у меня нет
Заранее спасибо.

[Sonic86]

DiMath в сообщении #820177 писал(а):

Подскажите, может можно как то построить график?

В Excele.

DiMath в сообщении #820177 писал(а):

Для любого $x>0$

$$\sum \limite_{n=1}^{\infty} (\frac{2x}{p_n^2-x^2})+\sum\limite_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n^2-x})\neq 0$$

Не проверял, но скорее всего это неверно.

[mihiv]

Рассмотрите, как ведет себя k- е слагаемое первой суммы, при $x\to p_k$ и как ведет себя при этом сумма второго ряда.