Несимметричное трапецеидальное распределение

[Korvin]

Коллеги, буду очень благодарен за наводку. Как известно, два неравных прямоугольных распределения при композиции дают трапецеидальное. Но - симметричное, т.е. трапеция равнобокая. Можно ли получить композицией 2 распределений, одно из которых обязательно прямоугольное, распределение по типу неравнобочной трапеции, т.е. скошенное? Как частный случай одно ребро трапеции может быть перпендикулярно основанию. При этом желательна как можно более простая форма второго распределения композиции. Как крайний случай можно допустить трапецию кривобочную, т.е. боковые ребра могут быть искривлены, если это упростит форму второго распределения.

[--mS--]

Насколько я понимаю, это невозможно. Треугольное несимметричное распределение может быть свёрткой равномерного с каким-то другим, а вот распределение с плотностью в виде несимметричной трапеции, я полагаю, не может быть свёрткой равномерного с чем-то.

[Korvin]

Спасибо за ответ. Но ка полагаю, если сверткой прямоугольного и некоего неизвестного распределения можно получить треугольное скошенное (при этом наверняка разброс прямоугольного и неизвестного должен быть равен), то путем увеличения разброса прямоугольного можно будет получить трапецеидальное. Т.е. останутся те-же самые ребра, но появится плоская вершина распределения.
Мне удается смоделировать скошенное трапецеидальное распределение путем свертки прямоугольного со скошенным треугольным (одно ребро перпендикулярное), при этом ребра трапеции ветви параболы либо экспоненты, но не удается получить трапецию с резко отличной крутизной ребер. Связано с тем, что любая свертка тяготеет к нормальному распределению, где ветви гауссовы, при этом вершина может быть плоской любой протяженности.
Вот как-то так.
Идеал - получить трапецию с вертикальным одним ребром и наклонным другим.

[--mS--]

Трапецию можно получить только тогда, когда носитель равномерного распределения больше носителя другого распределения в свёртке. Пусть $f(x)$ - некоторая плотность, причём $f(x)=0$ для $x\not\in[0,1]$. Будем сворачивать её с равномерной плотностью на отрезке $[0, a]$, $a>1$. Все остальные варианты могут быть получены сдвигом и растяжением, т.е. ничем отличаться принципиально не будут.
Плотность свёртки равна

$$ g(t)=\int_0^1 f(x) \frac1a I(0<t-x<a)\,dx = \int_0^1 f(x) \frac1a I(t-a<x<t)\,dx. $$

Если $t\in[0,\,1]$, то $g(t)=\int_0^t f(x)\,\frac1a\, dx=F(t)$, где $F$ - функция распределения.
Если $t\in(1,\,a]$, то $g(t)=\int_0^1 f(x)\,\frac1a\,dx=\frac1a$.
Если $t\in(a,\,a+1]$, то $g(t)=\int_{t-a}^1 f(x)\,\frac1a\,dx=1-F(t-a)$.
Так что трапеции тут могут получиться только такие, у которых участок постоянства приходится аккурат по центру носителя. И никогда не получится одного вертикального ребра.

[Korvin]

Спасибо.