Задачка на метод математической индукции (упростить сумму)

[KiberMath]

Упростить выражение

$ \frac{1}{1*3}+\frac{1}{3*5}+ ... + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}

С какой стороны к этому подползти?

Зы я абитуриент, решение должно опираться только на школьный курс математики

[Someone]

$$\frac1{(2k-1)(2k+1)}=\frac 12\left(\frac 1{2k-1}-\frac 1{2k+1}\right)$$

А если Вам хочется непременно методом полной математической индукции, то надо "догадаться", как будет выглядеть сумма Ваших дробей. Вычислите сумму одной дроби, двух, трёх, ..., пока не догадаетесь. Потом методом полной математической индукции эту формулу и доказывайте.

[Marizza]

Ну вот то что перед последним значением, будет ранвно ему же только вместо n - n-1. Подставь. Все сокращается... Я так думаю....если неправа - исправьте...
Задание же ведь - упростить выражение...

[KiberMath]

Someone
Ловко Вы разложили эту дробь... Так сразу все очевидно стало уже после 1-его же "шага".
Напишите пожалуйста попдробнее действия которые вы делали, чтобы представить эту дробь в таком виде. Я тоже хочу научиться так раскладывать дроби

[MaхVT]

Это называется разложить дробь в сумму простейших. Когда будете учиться интегрировать рациональные функции, Вам такую процедуру придется не раз проделать.Правильная дробь

$$\frac{P(x)}{(x-c_1)^{k_1}\ldots(x-c_n)^{k_n}}$$

раскладывается в сумму простейших так:

$$\frac{A_{1}}{(x-c_1)}+\frac{A_2}{(x-c_1)^{2}}+\cdots+\frac{A_{k_1}}{(x-c_1)^{k_1}}+\frac{B_1}{(x-c_2)}+\frac{B_2}{(x-c_2)^{2}}+\cdots+\frac{B_{k_2}}{(x-c_2)^{k_2}}+\cdots$$

Думаю, дальше ясно, как идет запись. Чтобы найти неизвестные $A_1$, $B_1$ и т. д. надо привести всё к общему знаменателю и приравнять многочлен $P(x)$ тому многочлену, который получился в числителе.

[KiberMath]

MaхVT
Спасибо )
Я разобрался!



А есть ли способ обойтись без разложения дроби догадаться до общей формулы?
Просто в книжке, в которой эта задачка не предпологаеться, что я умею раскладывать дробь в сумму простейших...

[MaхVT]

Конечно, есть: берете вычисляете Вашу штуковину сначала при $n=1$, потом при $n=2$, затем при $n=3$,...
А потом на каком-то шаге Вы внимательно смотрите на результаты — и Вас посещает озарение, Вы по виду полученных сумм догадываетесь до общей формулы!
Так, наверное, даже лучше решать эту задачу — почувствуете себя настоящим математиком, которого наконец-то посетила муза.

[KiberMath]

мда... наверно )
Но я перед тем как спросить на форуме дошел до n=5 и числа стали уже за тысячу переходить.. а музы нет.. )

ладно пойду пробывать по к-ому разу... может и додумаюсь

[Someone]

KiberMath писал(а):

мда... наверно )
Но я перед тем как спросить на форуме дошел до n=5 и числа стали уже за тысячу переходить.. а музы нет.. )

Дроби-то сокращать надо. И не когда "припрёт", а сразу.

[KiberMath]

Someone

Да у меня тогда особо мало чего сокращалось )))
Я уже додумался, как сделать без разбияения дроби на сумму простейщих.

Заметил, что в сумме к-ое слогаемое равняеться

$x(k) = x(k-1) * \frac{2k-1}{2k+3}$

и так суммируя и раскрывая скобки, получил, что

сумма

$$s(i) = \frac{1}{3} ( 1 + \frac{i}{2i+3})$$

Где i число слогаемых минус 1

$x(0) + x(1) + x(2) + ... + x(i) = s(i) = \frac{1}{3} ( 1 + \frac{i}{2i+3})$

[Someone]

По-моему, проще так:

$$S_1=\frac 13\text{,}$$

$$S_2=\frac 13+\frac 1{3\cdot 5}=\frac{5+1}{3\cdot 5}=\frac 25\text{,}$$

$$S_3=\frac 25+\frac 1{5\cdot 7}=\frac{14+1}{5\cdot 7}=\frac 37\text{,}$$

$$S_4=\frac 37+\frac 1{7\cdot 9}=\frac{27+1}{7\cdot 9}=\frac 49\text{,}$$

...

$$S_k=\frac k{2k+1}\text{ (догадка),}$$

где $k$ - число слагаемых. Осталось только доказать, что будет

$$S_{k+1}=\frac{k+1}{2(k+1)+1}\text{.}$$

[KiberMath]

Someone
Мда. действительно так проще )))
Я просто с сокращением дробей пару раз подряд запутался и решил придумать что-нибудь еще )