Интеграл Лебега (задачи)

[RgWhite]

Помогите с задачами:
1) Вычислить интеграл: $(L)\int\limits_0^1e^{D(x)}dx$ (D(x)-ф-я Дирихле)

2) Интегрируема ли ф-я по Лебегу? Если да, то вычислить интеграл
а) $f(x)=\sin{\frac{1}{x}},x\in(0,1]$; б) $f(x)=e^{x}\cos{D(x)}$

[4arodej]

1. $(L)\int\limits_{[0;1]}e^{D(x)}dx=(L)\int\limits_{[0;1]}e^0dx=(R)\int\limits_0^1e^0dx=\int_0^1 dx=1$

Тут пользуемся тем, что интеграл Лебега устойчив к изменению подынтегральной функции в множестве нулевой меры. Таким обазом, если функцию
$D(x)$ меняем на функцию тождественно равную $0$, меняя значения подынтегральной функции в рациональных числах с $1$ на $0$, то значение интеграла Лебега не меняется.

Далее интеграл Лебега от непрерывной функции -- это уже интеграл Римана
2.а
Функция не интегрируемуя, так как её вариация на множестве интегрирования бесконечна

2.б
Решение аналогично задаче 1.

[RgWhite]

А если в 2а ноль включен? Нам говорили что 0-точка разрыва и по критерию Лебега(если множество точек разрыва меры ноль, то ф-я интегрируема по Риману) ф-я интегрируема по Риману => и по Лебегу, это правильно? помоему нет

[RIP]

Критерий Лебега говорит, что функция $f\colon[a;b]\to\mathbb{R}$ интегрируема по Риману на отрезке $[a;b]$ тогда и только тогда, когда $f$ ограничена на отрезке $[a;b]$, и множество её точек разрыва имеет меру 0 по Лебегу.
Следовательно, функция $\sin\frac1x$ даже по Риману интегрируема на $[0;1]$ (если её как-нибудь доопределить в нуле). Чему равен интеграл, я чё-то не соображу.

[RgWhite]

Вот и я на этом запоролся! Зачет не получил

[RgWhite]

А если такая функция $\frac{\sin{\frac{1}{x}}}{x}$, $x\in(0,1]$(+случай когда ноль включен), будет так же?

[RIP]

RgWhite писал(а):

(+случай когда ноль включен)

Для интеграла Лебега множества меры 0 не играют никакой роли. Поэтому ответ не зависит от того, включать ноль или не включать.

RgWhite писал(а):

А если такая функция $\frac{\sin{\frac{1}{x}}}{x}$, $x\in(0,1]$..?

Воспользуйтесь тем, что измеримая функция $f\colon(0;1)\to\mathbb{R}$ интегрируема (по Лебегу) на (0;1) тогда и только тогда, когда

$$\int\limits_0^1|f(x)|\,dx<+\infty.$$

В частности, если функция $f$ непрерывна на $(0;1]$, то она интегрируема по Лебегу на $(0;1)$ тогда и только тогда, когда несобственный интеграл (Римана) от функции $f$ по $(0;1]$ сходится абсолютно. Вот и проверьте, выполняется ли последнее условие (советую сделать замену переменной $t=1/x$).

[RgWhite]

Все, теперь разобрался, всем спасибо!

[Александр Т.]

RIP писал(а):

Критерий Лебега говорит, что функция $f\colon[a;b]\to\mathbb{R}$ интегрируема по Риману на отрезке $[a;b]$ тогда и только тогда, когда $f$ ограничена на отрезке $[a;b]$, и множество её точек разрыва имеет меру 0 по Лебегу.
Следовательно, функция $\sin\frac1x$ даже по Риману интегрируема на $[0;1]$ (если её как-нибудь доопределить в нуле). Чему равен интеграл, я чё-то не соображу.

Интеграл вроде бы равен $\sin1-\mathop{\rm Si}(1)+\frac{\pi}{2}$.

И все-таки правильно ли

4arodej писал(а):

2.а
Функция не интегрируемуя, так как её вариация на множестве интегрирования бесконечна

и если - нет, то в чем ошибка?

[4arodej]

Александр Т. писал(а):

4arodej писал(а):

2.а
Функция не интегрируемуя, так как её вариация на множестве интегрирования бесконечна

и если - нет, то в чем ошибка?

наверно, просто перепутал критерии...
Про интегрируемость ограниченной в смысле Лебега полностью согласен!

[AD]

Цитата:

И все-таки правильно ли
4arodej писал(а):
2.а
Функция не интегрируемуя, так как её вариация на множестве интегрирования бесконечна


и если - нет, то в чем ошибка?

Совсем не правильно. Видимо, он что-то перепутал. Функция ограниченная и, очевидно, измеримая, а значит, интегрируемая. Вариация в других номерах тоже бесконечна.

Рискну предположить (хотя это и маловероятно), что он имел ввиду что-то типа "производная этой функции не может быть интегрируема по Лебегу, потому что неопределенный интеграл Лебега - всегда AC-функция, а значит и функция ограниченной вариации". Но здесь этих рассуждений нет, так как функция вообще разрывная, и поэтому неопределенным интегралом быть не может.

Добавлено спустя 7 минут 35 секунд:

ой

Похоже, пока я это все писал, 4arodej уже за себя ответил. Sorry.

[4arodej]

AD писал(а):

ой

Похоже, пока я это все писал, 4arodej уже за себя ответил. Sorry.