Разностные схемы

[cool.phenon]

Предположим, что численно решаем краевую задачу Дирихле уравнения теплопроводности в шаре:

$$\frac{\partial u}{\partial t}=\operatorname{div}\nabla u +f(r,\varphi,\psi,t). $$

Используем здесь потоковый вариант явной разностной схемы:

$$u^{n+1}_{i,j,k}=u^{n}_{i,j,k}+\frac{\Delta t}{V_{i,j,k}}\oint_{\partial V_{i,j,k}}(\nabla u^{n}_{i,j,k},\overline{n})ds+\frac{\Delta t}{V_{i,j,k}}\int\limits_{V_{i,j,k}}{f(r,\varphi,\psi,t)dr d\varphi d\psi} ,$$

где $V_{i,j,k}$ -- ячейка, центром которой является узел сферической сетки $(i,j,k)$, а вершины этой ячейки -- половинные узлы $(i\pm\frac{1}{2},j\pm\frac{1}{2},k\pm\frac{1}{2})$
Вопросы больше технические : 1) для вычисления потока по $\partial V_{i,j,k}$ на каждом шаге по времени нужно будет использовать значения $\nabla u$ в центре граней ячейки, а значит значения $u$ узлах $(i\pm\frac{1}{2},j,k),(i\pm,j\pm\frac{1}{2},k),(i,j,k\pm\frac{1}{2})$. Как лучше всего находить эти значения на каждом временном шаге?
2) как нужно будет аппроксимировать члены $\nabla u_{i,j,k}$ -- центральными операторами или же противопоточными операторами?