Производное по направлению в русской и английской литературе

[Ismatulla]

В русской литературе производная функции (многих переменных) по направлению вектора зависит только от направлении вектора и не зависит от длины вектора, т.е. определяет насколько быстро функция меняется в этом направлении.

$\frac{df}{d\mathbf{a}} = \lim_{h \to 0} \frac{f(\mathbf{x} + h\mathbf{e}) - f(\mathbf{x})}{h}$,

где $ \mathbf{x}= (x_1, x_2, ... x_n)$, e - единичный вектор в направлении вектора a.


http://math.semestr.ru/math/examples-gradient.php

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1% ... 0%B8%D1%8E



В английской же литературе производная функции по направлению (Directional derivative) зависит не только от направления, но и также пропорционален модулю вектора.

http://en.wikipedia.org/wiki/Directional_derivative


Чисто логически, производная по направлению должен зависеть только от направлении, т.е. определять насколько быстро функция меняется в этом направлении. Почему в английской литературе его умножают ещё на модуль вектора? В чем тут удобство?

[Vince Diesel]

На той же странице википедии объясняется.

Цитата:

Some authors define the directional derivative to be with respect to the vector v after normalization, thus ignoring its magnitude.
...
This definition has some disadvantages: its applicability is limited to when the norm of a vector is defined and nonzero. It is incompatible with notation used in some other areas of mathematics, physics and engineering, but should be used when what is wanted is the rate of increase in f per unit distance.

[svv]

$\mathbf af=\nabla_{\mathbf a}{f}=a^i f_{,i}$ — вещь нужная, фундаментальная. Касательный вектор $\mathbf a$ как оператор действует на функцию $f$.

А обозначение $\frac{df}{d\mathbf{a}}$ не очень хорошее. Кажется, что если вектор $\mathbf{a}$ умножить на $3$, то результат будет втрое меньше (в знаменателе ведь). А на самом деле — втрое больше.

[Ismatulla]

Vince Diesel в сообщении #818014 писал(а):

На той же странице википедии объясняется.

Some authors define the directional derivative to be with respect to the vector v after normalization, thus ignoring its magnitude.
...
This definition has some disadvantages: its applicability is limited to when the norm of a vector is defined and nonzero.

Если я правильно понял, то зависимость производной не только от направления, но и от длины вектора удобен тем, что если вектор нулевой, то и производная тоже равна нулю.