Плотность показательного распределения суммы 2х с.в.

[raman11]

Есть 2 независимые с.в. $\alpha$, $\beta$. Найти плотность показательного распределения их суммы.
$P(x)=\lambda\exp^-^\lambda^x x>0$
$P_\alpha_+_\beta (x) = \int_{-\infty}^{\infty}P_\alpha(u)P_\beta(x-u)du=\lambda^2\int_{-\infty}^{\infty}\exp^-^\lambda^xdu$

И как расправиться с неопределенностью?

[svv]

Показательное распределение не у суммы, а у слагаемых. А какое у суммы — это и надо найти.
Ошибка перекликается с этой.

Учтите, что $P_\alpha(x)=P_\beta(x)=0$ при $x<0$. Ваш последний интеграл записан исходя из того, что $P(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ справедливо для всех $x$ (чего быть не может).

[raman11]

svv в сообщении #817942 писал(а):

Показательное распределение не у суммы, а у слагаемых. А какое у суммы — это и надо найти.

а где я написал что надо у слагаемых найти?

А что делать с верхней бесконечностью?

[Otta]

raman11 в сообщении #818072 писал(а):

а где я написал что надо у слагаемых найти?

raman11 в сообщении #817936 писал(а):

Найти плотность показательного распределения их суммы.

Вы написали, что у суммы показательное распределение. Распределение чего Вы собирались искать?
Напротив, распределение слагаемых, если Вам верить, неизвестно.

raman11 в сообщении #817936 писал(а):

$P_\alpha_+_\beta (x) = \int_{-\infty}^{\infty}P_\alpha(u)P_\beta(x-u)du=$

Равенство продолжите правильно.

[raman11]

Понял о чем вы.
$P_\alpha_+_\beta (x) = \int_{-\infty}^{\infty}P_\alpha(u)P_\beta(x-u)du=\lambda^2\int_{0}^{\infty}\exp^-^\lambda^xdu$
так?
Экспоненты с "u" сократились.

[Otta]

Нет.
Напишите чему и где равна $p_\alpha(u)$ и чему и где равна $p_\beta(x-u)$, пристальное внимание обращая на аргументы.

[raman11]

$P_\alpha_+_\beta (x) = \int_{-\infty}^{\infty}P_\alpha(u)P_\beta(x-u)du= \int_{0}^{\infty}\lambda\exp^-^\lambda^u\lambda\exp^-^\lambda^{(x-u)}du=\lambda^2\int_{0}^{\infty}\exp^-^\lambda^xdu$

вроде так.не прав?

[svv]

У Вас есть формула для плотности показательно распределенной с.в. с параметром $\lambda$:
$p_X(x) = \begin{cases}\lambda \,e^{-\lambda x} ,&\text{если } x \geqslant 0, \\0 ,&\text{если } x < 0\end{cases}$
Её надо подставить в интеграл. Но под интегралом не должно быть никаких «если». Избежать «если» можно, исключив из области интегрирования ту часть, в которой хоть один из аргументов $p_\alpha$ или $p_\beta$ отрицательный. Все равно ведь там подинтегральная функция равна нулю.

Изменив так область интегрирования, можно переписать формулу в «безусловном» виде: $p_X(x)=\lambda \,e^{-\lambda x}$. Но имейте в виду: если Вы хоть где-то подставите сюда отрицательный аргумент, произойдет взрыв, и мир перестанет существовать. Сможете ли Вы спасти (или не погубить) мир?

[raman11]

Помоему взрыв сейчас у меня в голове произойдет...Т.е. интеграл не до бесконечности, а до Х?

[svv]

Да.
($u$ меняется только до $x$ маленького)
При дальнейшем увеличении $u$ аргумент $x-u$ в $p_\beta$ станет отрицательным, сама эта плотность нулевой, и дальше можно не интегрировать.

Вот оно, счастье.

[raman11]

Спасибо!

[svv]

И Вам спасибо — за спасение мира.