Решение лимита с арксинусом

[creedge]

Добрый день. Подскажите, правильно ли я решаю такой лимит:

$$\lim_{x \to 0^+} \left( \frac{\arctg (x)}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}$$

Вот как я его решал:

Использовал свойство $a^x=e^{x\cdot \ln a}$;

Раскрыл неопределенность вида 0\0 с помощью правила Лопиталя;

Получил $e^{\infty}$

$$\lim_{x \to 0^+} \left( \frac{\arctg (x)}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}=\exp\left(\lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2} \cdot \ln \left( \frac{\arctg (x)}{x}\right)\right)=\exp \left(\lim_{x \to 0}\frac{\ln \left( \frac{\arctg (x)}{x}\right)}{x^2}\right)=\left(\frac{0}{0}\right)=

$$=\exp \left(\lim_{x \to 0}\frac{\left( \frac{x}{\arctg (x)\right)}\cdot \frac{1}{1+x^2}}{2x}\right)=\exp \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{1+0}}{0}\right)=\exp \left(\frac{1}{0}\right) = \exp \left(\infty\right) = \infty $$

И в последней строчке решения я использовал эквивалентность $\arctg(x)=x, при $x \to 0$.

[Aritaborian]

Ответ неправильный. По-моему, вы напутали, вычисляя производную.

[mihailm]

Производная числителя, как заметил Aritaborian, неудачная.
А вообще лучше сразу актангенс в ряд Маклорена и ответ выписывать.

[provincialka]

Можно и без Лопиталя избавиться от логарифма. Воспользоваться тем, что $\ln y\sim y-1,y\to1$. А вот тут пригодится Лопиталь или Тейлор. Впрочем, можно с самого начала обойтись без логарифма, воспользовавшись вторым замечательным пределом.

-- 22.01.2014, 06:34 --

Кстати, почему тема называется "Решить лимит с арккосинусом" а не, скажем, "Найти предел с арктангенсом" ?

[bot]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #817743 писал(а):

Кстати, почему тема называется "Решить лимит с арккосинусом" а не, скажем, "Найти предел с арктангенсом" ?

А она и не называется "Решить лимит с арккосинусом" - она называется "Решение лимита с арксинусом"