Сумма трёх значений функции

[Ktina]

Функция $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ такова, что при любом вещественном $x$ верно, что

$$f(f(x))=x^3$$

Чему равно

$$f(0)+f(1)+f(-1)\quad\text{?}$$

Попытка решения:

Ответ: 0.

Пусть $f(0)=a,\quad f(1)=b,\quad f(-1)=c$
Тогда $f(a)=0,\quad f(b)=1,\quad f(c)=-1$
Тогда $f(f(a))=a,\quad f(f(b))=b,\quad f(f(c))=c$
Но тогда $a, b, c\in\{0, 1, -1\}$
Теперь, пусть среди значений нашей функции в точках 0, 1 и -1 есть два одинаковых. Без ограничения общности предположим $f(0)=f(1)=0$
Тогда $f(f(0))=f(f(1))=f(0)=0^3=1^3$ -- противоречие.
Значит, значения нашей функции в точках 0, 1 и -1 равны 0, 1 и -1, и не важно, кто из них кто.
А отсюда немедленно следует ответ на задачу.

Верно ли моё решение и существует ли указанная в задаче функция?

[Dan B-Yallay]

Цитата:

существует ли указанная в задаче функция?

$f(f(x))=x^3 \ \to \ (?$ $?) \ \to \ f(x)=x^\alpha \ \to \ f(f(x))=x^{\alpha^2}\ \to \ f(x)=x^{\sqrt{3}}$

Для отрицательных $x $ есть проблема.

[Ktina]

Dan B-Yallay в сообщении #817725 писал(а):

Для отрицательных $x $ есть проблема.

Ну дык я ж поэтому и спрашиваю ж

[BatMan]

Dan B-Yallay в сообщении #817725 писал(а):

Для отрицательных $x $ есть проблема.

Так добавим минус отрицательным

[Dan B-Yallay]

BatMan в сообщении #817727 писал(а):

Так добавим минус отрицательным

Попробуйте ...

[Ktina]

BatMan в сообщении #817727 писал(а):

Так добавим минус отрицательным

Сколько будет

$$-(-1)^{\sqrt 3}\text{?}$$

[BatMan]

кто-ж его знает
$ \ f(x)=|x|^{\sqrt{3}} sgn(x)$$
подойдет?

[Ktina]

BatMan
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 8sqrt+3%29
Не вещественное, однако

[Dan B-Yallay]

$f(x)=\begin{cases}x^{\sqrt{3}}, x \geq 0\\ -|x|^{\sqrt{3}}, x <0 \end{cases}$

??

[Ktina]

BatMan в сообщении #817730 писал(а):

кто-ж его знает
$ \ f(x)=|x|^{\sqrt{3}} sgn(x)$$
подойдет?

Нет.

[Dan B-Yallay]

А что не так?

[Ktina]

Dan B-Yallay в сообщении #817734 писал(а):

А что не так?

Пардон, Вы правы.

-- 22.01.2014, 02:31 --

И Вы, и BatMan.

-- 22.01.2014, 02:33 --

Спасибо!

-- 22.01.2014, 02:33 --

Так а решение-то верное у меня?

[Corund]

подойдет и $-\sqrt{3}$ в степени, но тогда $f(0)$ не определена...

[Dan B-Yallay]

Ktina в сообщении #817735 писал(а):

Так а решение-то верное у меня?

По крайней мере для этой функции - да.

[patzer2097]

Corund в сообщении #817736 писал(а):

подойдет и $-\sqrt{3}$ в степени, но тогда $f(0)$ не определена...

а $f(0)=0$ можно положить