Простая задачка про неравенства

[Rich]

Пусть неотрицательная функция $f(x)$ удовлетворяет неравенству $f(x) \leq M(1+ \int_0^xf(t)g(t)dt)$ ,требуется доказать $ f(x)\leq Me^{ M\int_0^xg(t)dt)}$,где $g(t)$ неотрицательная непрерывная функция.

Когда $x$ стремится к нулю неравенство вроде получается, а как доказать для произвольного $x$?

[svv]

$x\geqslant 0$?
Тогда это следствие $f(x)\leqslant M$ и $\int_0^xg(t)dt \geqslant 0$.

[Rich]

Почему $f(x) \leq M$?я вижу только что $f(0) \leq M$.

[svv]

Я ошибся.

[Dan B-Yallay]

Rich в сообщении #817650 писал(а):

Пусть неотрицательная функция $f(x)$ удовлетворяет неравенству $f(x) \leq M(1+ \int_0^xf(t)g(t)dt)$

Пусть функция $\varphi $ удовлетворяет равенству. Продифференцируйте и используйте факт $f \leqslant \varphi$ ...

(Открывать в последнюю очередь)

$$\begin{align}\varphi(x)&= M\left(1+ \int_0^xf(t)g(t)dt\right) \Rightarrow \\ \dfrac{d\varphi}{dx}&=Mf(x)g(x), \qquad \varphi(0)=M\\ \dfrac{\varphi '}{f} & = Mg(x)\\ 0 & \leqslant f(x) \leqslant \varphi (x) \quad \Rightarrow \quad \dfrac {\varphi '}{\varphi} \leqslant \dfrac{\varphi '}{f} \\ \dfrac{\varphi '}{\varphi}&\leqslant Mg \qquad \Rightarrow \qquad \ln(\varphi(x)) \leqslant M\int_0^x g(t)dt+C\\ \varphi(x)&\leqslant Ce^{M\displaystyle\int_0^t g(t)dt}, \qquad \varphi(0)=M\\ \varphi(x)& \leqslant Me^{M\displaystyle\int_0^x g(t)dt} \qquad (*)\\ \\ f(x)&\leqslant M\left(1+ \int_0^x f(t)g(t)dt\right) =\varphi \leqslant Me^{M\displaystyle\int_0^x g(t)dt} \end{align}$$

[V.V.]

Это называется леммой Гронуолла-Беллмана.