2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Простая задачка про неравенства
Сообщение21.01.2014, 22:15 


09/05/12
172
Пусть неотрицательная функция $f(x)$ удовлетворяет неравенству $f(x) \leq M(1+ \int_0^xf(t)g(t)dt)$ ,требуется доказать $ f(x)\leq Me^{ M\int_0^xg(t)dt)}$,где $g(t)$ неотрицательная непрерывная функция.

Когда $x$ стремится к нулю неравенство вроде получается, а как доказать для произвольного $x$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задачка про неравенства
Сообщение21.01.2014, 22:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
$x\geqslant 0$?
Тогда это следствие $f(x)\leqslant M$ и $\int_0^xg(t)dt \geqslant 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задачка про неравенства
Сообщение21.01.2014, 22:41 


09/05/12
172
Почему $f(x) \leq M$?я вижу только что $f(0) \leq M$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задачка про неравенства
Сообщение21.01.2014, 22:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Я ошибся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задачка про неравенства
Сообщение22.01.2014, 05:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10078
Rich в сообщении #817650 писал(а):
Пусть неотрицательная функция $f(x)$ удовлетворяет неравенству $f(x) \leq M(1+ \int_0^xf(t)g(t)dt)$
Пусть функция $\varphi $ удовлетворяет равенству. Продифференцируйте и используйте факт $f \leqslant \varphi$ ...

(Открывать в последнюю очередь)

$$\begin{align}\varphi(x)&= M\left(1+ \int_0^xf(t)g(t)dt\right) \Rightarrow \\
\dfrac{d\varphi}{dx}&=Mf(x)g(x), \qquad \varphi(0)=M\\
\dfrac{\varphi '}{f} & = Mg(x)\\
0 & \leqslant f(x) \leqslant \varphi (x) \quad  \Rightarrow \quad \dfrac {\varphi '}{\varphi} \leqslant \dfrac{\varphi '}{f} \\
\dfrac{\varphi '}{\varphi}&\leqslant Mg \qquad  \Rightarrow \qquad  \ln(\varphi(x)) \leqslant M\int_0^x g(t)dt+C\\
\varphi(x)&\leqslant Ce^{M\displaystyle\int_0^t g(t)dt},  \qquad \varphi(0)=M\\
\varphi(x)& \leqslant Me^{M\displaystyle\int_0^x g(t)dt} \qquad (*)\\
\\
f(x)&\leqslant  M\left(1+ \int_0^x f(t)g(t)dt\right) =\varphi \leqslant  Me^{M\displaystyle\int_0^x g(t)dt}
\end{align}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задачка про неравенства
Сообщение24.01.2014, 19:53 
Заслуженный участник


09/01/06
800
Это называется леммой Гронуолла-Беллмана.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group