2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Простая задачка про неравенства
Сообщение21.01.2014, 22:15 
Пусть неотрицательная функция $f(x)$ удовлетворяет неравенству $f(x) \leq M(1+ \int_0^xf(t)g(t)dt)$ ,требуется доказать $ f(x)\leq Me^{ M\int_0^xg(t)dt)}$,где $g(t)$ неотрицательная непрерывная функция.

Когда $x$ стремится к нулю неравенство вроде получается, а как доказать для произвольного $x$?

 
 
 
 Re: Простая задачка про неравенства
Сообщение21.01.2014, 22:34 
Аватара пользователя
$x\geqslant 0$?
Тогда это следствие $f(x)\leqslant M$ и $\int_0^xg(t)dt \geqslant 0$.

 
 
 
 Re: Простая задачка про неравенства
Сообщение21.01.2014, 22:41 
Почему $f(x) \leq M$?я вижу только что $f(0) \leq M$.

 
 
 
 Re: Простая задачка про неравенства
Сообщение21.01.2014, 22:43 
Аватара пользователя
Я ошибся.

 
 
 
 Re: Простая задачка про неравенства
Сообщение22.01.2014, 05:29 
Аватара пользователя
Rich в сообщении #817650 писал(а):
Пусть неотрицательная функция $f(x)$ удовлетворяет неравенству $f(x) \leq M(1+ \int_0^xf(t)g(t)dt)$
Пусть функция $\varphi $ удовлетворяет равенству. Продифференцируйте и используйте факт $f \leqslant \varphi$ ...

(Открывать в последнюю очередь)

$$\begin{align}\varphi(x)&= M\left(1+ \int_0^xf(t)g(t)dt\right) \Rightarrow \\
\dfrac{d\varphi}{dx}&=Mf(x)g(x), \qquad \varphi(0)=M\\
\dfrac{\varphi '}{f} & = Mg(x)\\
0 & \leqslant f(x) \leqslant \varphi (x) \quad  \Rightarrow \quad \dfrac {\varphi '}{\varphi} \leqslant \dfrac{\varphi '}{f} \\
\dfrac{\varphi '}{\varphi}&\leqslant Mg \qquad  \Rightarrow \qquad  \ln(\varphi(x)) \leqslant M\int_0^x g(t)dt+C\\
\varphi(x)&\leqslant Ce^{M\displaystyle\int_0^t g(t)dt},  \qquad \varphi(0)=M\\
\varphi(x)& \leqslant Me^{M\displaystyle\int_0^x g(t)dt} \qquad (*)\\
\\
f(x)&\leqslant  M\left(1+ \int_0^x f(t)g(t)dt\right) =\varphi \leqslant  Me^{M\displaystyle\int_0^x g(t)dt}
\end{align}$$

 
 
 
 Re: Простая задачка про неравенства
Сообщение24.01.2014, 19:53 
Это называется леммой Гронуолла-Беллмана.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group