Теорвер: две константы в функции распределения

[asnver]

Здравствуйте. При выполнении ИДЗ попалась задача с данной функцией распределения:

$$ F(x)=\begin{cases} 0,&\text{если $x \leqslant 1$;}\\ Ax^2-Bx,&\text{если $1<x \leqslant 3$;}\\ 1,&\text{если $x>3$.} \end{cases} $$

Одно из заданий - найти эти самые А и В. Я, к сожалению, только знаю как найти одну константу - находим функцию плотности, берем интеграл по нужному участку, приравниваем к единице. Однако тут это не проходит, максимум, что я могу сделать - выразить одну константу через другую (у меня получается $A=\frac{2B+1}{8}$). Есть ли какой-либо способ найти обе константы? Заранее спасибо.

И, если можно сразу два вопроса в одной теме задавать: в другом задании имеется функция, распределенная по закону Паскаля $P(\xi)=pq^k$, где $k=0, 1, 2... g_\xi(t)$. Нужно найти эту характеристическую функцию, и через нее уже МО и дисперсию. Правильно ли будет ее искать как $g_\xi(t)=\int e^{ixt} pq^x dx, с пределами минус-плюс бесконечность (не могу, к сожалению, найти как это прописать в формуле)? Заранее спасибо.

[provincialka]

Посмотрите определение и свойства функции распределения.

[ИСН]

Ну смотрите. Допустим, нет никаких функций, зато есть выражение (одно): $u+v=1$. Можно ли отсюда найти u и v? Или как? Ну, может, там способ какой-то есть... А? Как полагаете?

-- менее минуты назад --

С другой стороны, функция распределения, возможно, имеет какие-то ещё свойства, из которых - - -

-- менее минуты назад --

Два вопроса в одной теме можно, но Вы запутаетесь. Или нет. Ну ладно, найдите для начала характеристическую функцию вот такой случайной величины: с вероятностью $1\over2$ она равна 1, и с такой же вероятностью - минус 1.

[Александрович]

А=В

[--mS--]

Что-то нигде не видно, откуда вообще взялась плотность.

[asnver]

ИСН
С одним выражением $u+v=1$ ничего на ум не приходит. Можно одно из них выразить через другое (и через единицу), но это ничего же не даст, нужно еще какое-нибудь дополнительное условие? Насчет характеристической функции вашей случайной величины: она, я так понимаю, дискретная, т.е. характеристическую функцию ищем как $\sum\limits_{k=1}^n {\e^{itx_k}p_k}$. Оба $p_k$ у нас равны 1/2, $x_1=1$, $x_2=-1$, то есть получается

$$\frac {e^{it}}{2}+\frac {1}{2e^{it}}$$

Так?

provincialka
В учебнике (и, еще до этого, одном примере в интернете) нашлось что-то в духе $F(x)\to 1$ при $x\to b$ (b - конец интервала, в котором случайная величина принимает свои значения). Это оно? Это свойство можно использовать для нахождения констант?

[Otta]

asnver
Для решения Вашей задачи не хватает существенного условия.
А там совсем-совсем ничего не было про случайную величину написано? Правда-правда?

[provincialka]

Присоединяюсь к Otta. Перечислите свойства функции распределения.

[ewert]

asnver в сообщении #817130 писал(а):

Я, к сожалению, только знаю как найти одну константу - находим функцию плотности,

Otta в сообщении #817449 писал(а):

Для решения Вашей задачи не хватает существенного условия.

--mS-- в сообщении #817271 писал(а):

Что-то нигде не видно, откуда вообще взялась плотность.

Имелось в виду: а она, плотность, -- вообще-то существует?... Неплохо бы это проверить.

[asnver]

ewert
Плотность (по крайней мере, насколько я знаю) - производная от $F(x)$. В моем случае будет равна $2Ax-B$. Или я все-таки чего-то не понимаю?

Otta
В первой задаче указано, что случайная величина непрерывная, а во второй - дискретная. У меня в первом сообщении написано, что функция распределена по закону Паскаля - за это извиняюсь, очень плохая опечатка, должна быть эта самая дискретная величина распределена, а не функция.

[ewert]

asnver в сообщении #817461 писал(а):

В первой задаче указано, что случайная величина непрерывная,

Прекрасно. Вы обязаны знать, что является необходимым условием на функцию распределения для того, чтобы распределение было непрерывным.

[asnver]

ewert
Хмм. Вы имеете в виду, что $F_\xi(x)=\int\limits_{-\infty}^x f_\xi(t)dt$?

[ewert]

asnver в сообщении #817466 писал(а):

Вы имеете в виду, что $F_\xi(x)=\int\limits_{-\infty}^x f_\xi(t)dt$?

Нет, гораздо грубее. Но пусть так. Что из этого следует для $F_\xi(x)$?...

[asnver]

ewert
То, что $F_\xi(x)$ - число? Раз интеграл определенный. Больше пока ничего на ум не приходит.

[ewert]

asnver в сообщении #817477 писал(а):

Больше пока ничего на ум не приходит.

Ну плохо.
Попытайтесь вспомнить:

-- какая случайная величина у вас называлась непрерывной?...
-- какая называлась дискретной?...

А ведь какие-то определения у вас для них должны были быть.