Разложение Маклорена

[Danmir]

Доброго времени суток.
Пытаюсь решить предел $\lim _{ x\to 0 }{ \frac { \sin x-\ln(\sin x+\sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } ) }{ \tg { x } -x{ \cos }^{ 2 }x } } $, путем разложения по Тэйлору. Раскладываю каждое слагаемое. Проблема возникла с $\ln(\sin x+\sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } )$ Разложил: $\sin x=x-\frac { { x }^{ 3 } }{ 3! } +o({ x }^{ 3 })$, $\sqrt { (1+{ x }^{ 2 }) } =1+\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { { x }^{ 4 } }{ 8 } +o({ x }^{ 4 })$. Теперь с логарифмом $\ln(1+x)=x-\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } -\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } +o({ x }^{ 4 })$ В нашем случае x как раз стремится к 0, попытался подставить как раз таки в эту формулу для логарифма, то, что получилось в сумме в скобках, но далее не совсем могу понять до какой степени раскладывать. Можете подсказать дальнейший путь, так как раскрытие "в лоб" не получилось.

[ИСН]

До какой степени? Как всегда: до первой. Если не хватило (т.е. предел остался неопределённым, 0/0) - значит, до второй. Если опять не хватило - значит, до третьей. И так далее.

[Danmir]

Так, вот подставил в логарифм, то, что получилось: $\ln { (x-\frac { { x }^{ 3 } }{ 6 } +o({ x }^{ 3 })+1+\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { { x }^{ 4 } }{ 8 } +o({ x }^{ 4 })) } =\ln { (1+x-\frac { { x }^{ 3 } }{ 6 } +\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +o({ x }^{ 3 })) } $ Теперь раскладываю логарифм и беру степени, толкьо до нужного о-маленького: $x-\frac { { x }^{ 3 } }{ 6 } +\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +o({ x }^{ 3 })-\frac { (x-\frac { { x }^{ 3 } }{ 6 } +\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +o({ x }^{ 3 }))^{ 2 } }{ 2 } =x-\frac { { x }^{ 3 } }{ 6 } +\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +o({ x }^{ 3 })-\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { { x }^{ 3 } }{ 2 } =x-\frac { 2{ x }^{ 3 } }{ 3 } +o({ x }^{ 3 })$ Wolfram говорит, что там нет 2 перед ${ x }^{ 3 }$ В чем может быть проблема ?

[ИСН]

Когда Вы раскладываете логарифм, то какими степенями ограничиваетесь, и почему?

[Danmir]

Спасибо за вопрос, действительно, вместо $\ln { ( } 1+x)=x-\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +o({ x }^{ 2 })$ надо было брать $\ln { ( } 1+x)=x-\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } +o({ x }^{ 3 })$ так как там тоже будет ${ x }^{ 3 }$

[ИСН]

Отож