Задача про протоны

[DuMOHsmol]

Преподаватель по физике задал вот такую задачку: протон налетает на первоначально покоившийся протон со скоростью $V_0$, найти минимальное расстояние между ними.

Я решил её вот так:

1. Импульс первого протона: $p_1=mV_0$
2. Минимальное расстояние будет, когда скорости протонов равны ($V_1=V_2=U$), найдем импульс для этого случая: $p_2=(m+m)U=2mU$
3. Приравниваем $p_1$ и $p_2$, находим $U$: $U=V_0/2$
4. Далее по закону сохр. энергии:

$\frac{mV_0^2}{2}=\frac{mU^2}{2}+\frac{mU^2}{2}+W_{c}=mU^2+k\frac{q^2}{r_{\min}}$
$\frac{mV_0^2}{4}=\frac{kq^2}{r_{\min}}$

5. И, отсюда, ответ:

$r_{\min}=\frac{4kq^2}{mV_0^2}$

Решение вроде бы правильное, но преподаватель попросил объяснить почему я приравнял скорости протонов. А я вроде как и чувствую, что это правильно, а какими формулами объяснить не знаю Буду рад, если кто-нибудь ткнет носом.

[warlock66613]

Можно не накладывать условия равенства заранее, а оставить одну скорость неизвестной. Далее в п.4 выразить $r$ через эту скорость и найти минимум получившейся функции обычным образом.

-- 19.01.2014, 18:21 --

Но и такое решение на мой взгляд будет не полное. Именно, на каком основании прицельное расстояние принято за $0$? В условии этого нет.

[spherical cow]

Равенство скоростей можно объяснить так: скорость изменения расстояния между протонами это их относительная скорость. Соответственно, когда расстояние минимально, производная обращается в нуль, то есть относительная скорость равна нулю, а значит их скорости равны (это все при центральном ударе конечно).

[DuMOHsmol]

warlock66613 в сообщении #816630 писал(а):

Можно не накладывать условия равенства заранее, а оставить одну скорость неизвестной. Далее в п.4 выразить $r$ через эту скорость и найти минимум получившейся функции обычным образом.

Благодарю, все получилось, почему-то не подумал об исследовании функции для одной из скоростей.

warlock66613 в сообщении #816630 писал(а):

Но и такое решение на мой взгляд будет не полное. Именно, на каком основании прицельное расстояние принято за $0$? В условии этого нет.

Можно подробнее, имеется в виду тот факт, что сила Кулона толкает в противоположную строну? Извиняюсь за незнание, первый курс, и физика явно не моя сильная сторона :)

[DimaM]

warlock66613 в сообщении #816630 писал(а):

Но и такое решение на мой взгляд будет не полное. Именно, на каком основании прицельное расстояние принято за $0$? В условии этого нет.

Если прицельный параметр не ноль, расстояние при максимальном сближении будет больше, чем если прицельный параметр ноль. То есть не минимальным.

[warlock66613]

DuMOHsmol в сообщении #816664 писал(а):

имеется в виду тот факт, что сила Кулона толкает в противоположную строну?

Ну, вообще говоря, "удар" может быть нецентральным, т. е. налетающий протон может как бы пройти чуть в стороне. Протоны разлетятся в разные стороны, задача станет двумерной.

-- 19.01.2014, 19:19 --

DimaM в сообщении #816666 писал(а):

Если прицельный параметр не ноль, расстояние при максимальном сближении будет больше, чем если прицельный параметр ноль. То есть не минимальным.

Я так и думал, но по-хорошему это тоже надо доказывать.

[DuMOHsmol]

warlock66613 в сообщении #816669 писал(а):

DuMOHsmol в сообщении #816664 писал(а):

имеется в виду тот факт, что сила Кулона толкает в противоположную строну?

Ну, вообще говоря, "удар" может быть нецентральным, т. е. налетающий протон может как бы пройти чуть в стороне. Протоны разлетятся в разные стороны, задача станет двумерной.

А, понял. Ну, преподаватель не придрался к центральному удару, так что, скорее всего, в условии именно он и был, но не той части, что я записал в тетрадь :) Да, и на лекциях, насколько помню, нецентральных ударов пока не давали.

[DimaM]

warlock66613 в сообщении #816669 писал(а):

Я так и думал, но по-хорошему это тоже надо доказывать.

Кинетическую энергию можно разложить на три части:
1. связанную с движением центра масс - она постоянна
2. связанную с радиальным движением в системе центра масс - в точке максимального сближения равна нулю
3. связанную с вращением в системе центра масс - увеличивается при уменьшении расстояния, пропорциональна квадрату момента импульса в системе центра масс.
Сохраняется сумма этих трех плюс потенциальная энергия взаимодействия.
Видно, что при нулевом моменте импульса в с.ц.м. максимальная потенциальная энергия больше - следовательно, расстояние при максимальном сближении меньше.
Можно формулки записать, чтоб было совсем строго.