Другое доказательство ограниченности выпуклой функции

[danildushistov]

Здравствуйте!

Необходимо доказать, что если функция выпукла на $\mathbb{R}$ и для нее выполнено следующее предельное соотношение:

$$\lim\limits_{x \to -\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x}=0$$

то она - константа.

В принципе, если предел отношения двух функций равен нулю, то степень функции в числителе меньше степени функции, которая в знаменателе. Так как степень функции $x$ равна 1, то тогда в числителе - константа. Но, это только если функции - многочлены, в то время как выпуклая функция в числителе не обязана быть только многочленом.

Мое затруднение в данном случае - как обобщить рассуждение для выпуклой функции $f(x)$ любого вида. Подскажите, пожалуйста.

[Oleg Zubelevich]

предположим функция не константа, тогда для некоторого $x,c$ верно $f(x+c)-f(x)>0$

1 сл $c>0$

Oleg Zubelevich в сообщении #816524 писал(а):

$$f(y_n)\ge\frac{f(\lambda_nx+(1-\lambda_n)y_n)-\lambda_n f(x)}{1-\lambda_n},\quad \lambda_n\to 1,\quad (1-\lambda_n)y_n\to c,\quad y_n\to \infty$$