Доказать, что выпуклая и ограниченная функция есть константа

[danildushistov]

Здравствуйте!

Необходимо доказать, что если функция выпукла и ограниченна на $\mathbb{R}$, то она - константа.

Распишем это с помощью определения выпуклости и ограниченности: если $\forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}, \forall \lambda \in [0,1] : f(\lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2) \leqslant \lambda f(x_1)+(1 - \lambda)f(x_2)$ и $\exists M \in \mathbb{R}: \forall x \in \mathbb{R}: f(x) < M$ (ограниченность сверху), то $f(x)$ - константа.

В силу ограниченности сверху $f(\lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2) < M$, $\lambda f(x_1) < \lambda M$, $(1 - \lambda)f(x_2) < (1-\lambda)M$.

Если подставить это в определение выпуклости, то получаем:

$\forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}, \forall \lambda \in [0,1] : f(\lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2) \leqslant \lambda M + (1-\lambda)M$
$\forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}, \forall \lambda \in [0,1] : f(\lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2) \leqslant M$

Или так:

$\forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}, \forall \lambda \in [0,1] : M \leqslant \lambda M + (1-\lambda)M$
$\forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}, \forall \lambda \in [0,1] : M \leqslant M$.

Видно, что возвращаемся к тому, что дано, а значит, путь совсем неправильный. Подскажите, что делать, пожалуйста.

[Oleg Zubelevich]

$$f(y_n)\ge\frac{f(\lambda_nx+(1-\lambda_n)y_n)-\lambda_n f(x)}{1-\lambda_n},\quad \lambda_n\to 1,\quad (1-\lambda_n)y_n\to c,\quad y_n\to \infty$$

только не подумайте, что это уже решение

[Vince Diesel]

Рассмотрим на единичной окружности функцию $\varphi(x)$ — угол прямой, соединяющей точки графика $(0,f(0))$ и $(x,f(x))$. Что можно сказать о поведении этой функции с учетом выпуклости? А при $x\to+\infty$ с учетом ограниченности $f$?

[svv]

Допустим, не константа. Тогда существуют $a,b$ такие, что $f(a)\neq f(b)$. Для определенности $a<b$.

Проведем через точки $(a,f(a))$ и $(b, f(b))$ прямую. При $x<a$ и $x>b$ график функции не может быть ниже этой прямой.