Здравствуйте!
Необходимо доказать, что если функция выпукла и ограниченна на

, то она - константа.
Распишем это с помощью определения выпуклости и ограниченности: если
![$\forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}, \forall \lambda \in [0,1] : f(\lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2) \leqslant \lambda f(x_1)+(1 - \lambda)f(x_2)$ $\forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}, \forall \lambda \in [0,1] : f(\lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2) \leqslant \lambda f(x_1)+(1 - \lambda)f(x_2)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/8/1987e4c966148def90c75bcd6d67ef3182.png)
и

(ограниченность сверху), то

- константа.
В силу ограниченности сверху

,

,

.
Если подставить это в определение выпуклости, то получаем:
Или так:
![$\forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}, \forall \lambda \in [0,1] : M \leqslant M$ $\forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}, \forall \lambda \in [0,1] : M \leqslant M$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/f/5ff9f0cd15bb649cbb29a2685ca35d2782.png)
.
Видно, что возвращаемся к тому, что дано, а значит, путь совсем неправильный. Подскажите, что делать, пожалуйста.