Составные числа

[arqady]

Докажите, что для любого натурального $n>2$ существует $n$ - значное составное натуральное число,
среди цифр которого в десятичной записи одна девятка, а все остальные - единицы.

[Руст]

Число $\frac{10^n-1}{9}+8*10^k, k<n$ легко регулируется по модулю 7
При $k=0,1,2,3,4,5$ последний член дает остатки (при делении на 7) $1,3,2,6,4,5$ $(n=3,k=0),(n=4,k=2),(n=5,k=0)$. При $n=1\mod 3$ число при любом k делится на 3.
Делимость на 7 суммы не удается только если первый член делится на 7, в этом случае n делится на 6. Для этого случая можно подобрать k так, чтобы число делилось на другое простое число, например на 17.