Выпуклая комбинация двух точек

[danildushistov]

Здравствуйте!

Необходимо доказать, что выпуклая комбинация двух точек представляет собой отрезок, концами которого являются эти точки. Более формально, что множество $\lbrace \alpha x_1+(1-\alpha)x_2 | 0 \leqslant \alpha \leqslant 1 \rbrace$ $ \forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}^n$ представляет собой отрезок $[x_1,x_2]$.

Преобразуем исходное выражение: $\alpha x_1+(1-\alpha)x_2=\alpha x_1+x_2-\alpha x_2=x_2+\alpha (x_1-x_2)$ - это есть вектор. Для наглядности изобразим его на плоскости для двумерного случая (для $n$-мерного случая рассуждения будут аналогичными):



На рисунке видно, что вектор $\alpha (x_1-x_2)$ (одно из его значений показано зеленым цветом) представляет собой сжатый вектор $x_1-x_2$, так как $0 \leqslant \alpha \leqslant 1$. Вектор $x_2+\alpha (x_1-x_2)$ указывает в ту же точку, что и вектор $\alpha (x_1-x_2)$.

Будем варьировать коэффициент $\alpha$ от 0 до 1. Видим, что если $\alpha=0$, то $x_2+\alpha (x_1-x_2)=x_2$, а если $\alpha=1$, то $x_2+\alpha (x_1-x_2)=x_1$. Очевидно, что любое значение $\alpha$ даст нам точку на отрезке, обозначенном красной пунктирной линией, а это и есть отрезок $[x_1,x_2]$.

Задача решена. Скажите, пожалуйста, нет ли в решении ошибок?

[arseniiv]

Очевидно? Может, кто-то не согласится, но мне пока из такого не очевидно.

Отрезок — это подмножество точек прямой, которые лежат (включительно) между двумя данными.
(1) Как вы определяете, что точка лежит на данной прямой? (OK, все мы знаем, что аффинная aka барицентрическая комбинация двух точек — это прямая, проходящая через них; если у вас нет строгого доказательства, сделайте. Вопрос решён.)
(2) Как вы определяете, что точка лежит на прямой между двумя данными? (Картинки не сработают.)

[danildushistov]

arseniiv в сообщении #816416 писал(а):

(1) Как вы определяете, что точка лежит на данной прямой? (OK, все мы знаем, что аффинная aka барицентрическая комбинация двух точек — это прямая, проходящая через них; если у вас нет строгого доказательства, сделайте. Вопрос решён.)
(2) Как вы определяете, что точка лежит на прямой между двумя данными? (Картинки не сработают.)

(1), (2): к сожалению, алгебраически я никак не могу это определить, поэтому и привлекался геометрический смысл при решении задачи.

То есть, чтобы выполнить строгое доказательство, мне нужно:

1) Доказать, что аффинная комбинация двух точек $x_1$ и $x_2$ представляет собой прямую, проходящую через эти точки в $n$-мерном пространстве.
2) Доказать, что все вектора $\alpha x_1+(1-\alpha)x_2$ $\forall \alpha \in [0,1]$ лежат на данной прямой, причем строго между точками $x_1$, $x_2$ (причем совпадают с этими точками при двух значениях $\alpha$).

Я правильно понял? Но только вот вопрос: как тогда понимать строгое определение отрезка в $n$-мерном пространстве? Оно ведь явно должно использоваться при доказательстве.

[Otta]

danildushistov в сообщении #816495 писал(а):

Но только вот вопрос: как тогда понимать строгое определение отрезка в $n$-мерном пространстве? Оно ведь явно должно использоваться при доказательстве.

Вот именно. Именно с этого и стоит начать: каково было определение?
Потому что, например, оно может быть (и часто бывает) как раз таким: $[x_1,x_2]=\lbrace x\in R^n : \exists \alpha\in [0,1]\; x= \alpha x_1+(1-\alpha)x_2 \rbrace$

[patzer2097]

danildushistov в сообщении #816401 писал(а):

Необходимо доказать, что выпуклая комбинация двух точек представляет собой отрезок

Вы (имхо) имели в виду "выпуклая оболочка", а не выпуклая комбинация