Варьирование интеграла. Мешается градиент.

[Neuter]

Товарищи !
Не могу раскрыть интеграл, подскажите, пожалуйста, как подступиться.
\int i\hbar \triangledown i\hbar \triangledown \delta \psi^*dV=-\hbar^2 \int\triangledown^2 \delta\psi^*dV=....
dV - интегрирование по объёму, мешается знак вариации \delta\ перед пси-сопряжённой.

[warlock66613]

Как всегда в таких случаях, беря интеграл по частям (используя правило Лапласаейбница).

[svv]

А брать интеграл по частям — это использовать интегральную теорему.
Вот такую:
$\int\limits_V \nabla^2 u\;dV=\int\limits_S \nabla u\cdot\mathbf n\;dS$
Далее рассматриваются только такие вариации, которые на границе не только сами, но и их градиент...
Если только здесь нет подлых квантовых штучек, в которых я не разбираюсь.

[warlock66613]

А, ну да, здесь левее наблы и так ничего нет, так что правило Лапласаейбница не нужно.

[Neuter]

svv, warlock66613, спасибо.
кажется вспомнил,- теорема Остроградского:
\int\triangledown^2\delta\psi^*dV=\oint\triangledown\delta\psi^*ndS= далее по частям
Что брать за u и за dv ?
я понимаю так:
u=\triangledown\delta\psi^*n и dv=dS
=>\oint\triangledown\delta\psi^*ndS=\triangledown\delta\psi^*n\cdot S-\int S d(\triangledown\delta\psi^*n)
что-то не так под дифференциалом, видимо надо соответствующим образом выбирать u и dv ?

[svv]

Neuter
Нет, не так. Формула Остроградского и есть уже один из вариантов интегрирования по частям в многомерном случае. Поэтому после её применения интегрировать по частям уже не нужно.

Начнем с понятного одномерного случая:
$\int\limits_a^b u\;\frac{dv}{dx}\;dx = \left.(uv)\right |_a^b - \int\limits_a^b \frac{du}{dx}\;v\;dx$

Превратить его в многомерный можно по-разному. Например, пусть теперь $u$ по-прежнему скалярная функция, а $\mathbf v$ векторная. Производная $\frac{d}{dx}$ превращается в $\nabla$. Тогда
$\int\limits_V u\;\nabla\cdot\mathbf v\;dV = \int\limits_S u\mathbf v\cdot\mathbf ndS - \int\limits_V (\nabla u)\cdot \mathbf v\;dV$
Так как в «квантах» могут быть некоммутирующие операторы, я изо всех сил стараюсь сохранять порядок $u$ и $\mathbf v$, уж не знаю, насколько это глупо.

Теперь пусть $u=1$. Тогда $\nabla u=0$, интеграл по объему в правой части исчезает, и мы получаем теорему Остроградского:
$\int\limits_V \nabla\cdot\mathbf v\;dV = \int\limits_S \mathbf v\cdot\mathbf ndS$

Теперь пусть $\mathbf v=\nabla\Phi$ (где $\Phi$ скалярная функция). Получаем ещё одну интегральную теорему:
$\int\limits_V \nabla^2\Phi\;dV = \int\limits_S (\nabla\Phi)\cdot\mathbf ndS$

Остается положить $\Phi=\delta \psi^*$, и будет Ваш случай.

Не забудьте о совете ограничиться вариациями, у которых градиент тоже нулевой на границе.

[ewert]

Neuter в сообщении #816316 писал(а):

Что брать за u и за dv ?

Трудно сказать. У Вас там наверняка один множитель потерян. Почему вдруг под интегралом -- только вариация, без ничего?...

[Neuter]

svv, спасибо Вы открыли мне глаза.
И порядок u и v наверное лучше и в правду сохранять.

ewert, согласен, верно подмечено.