Исследование ряда на сходимость

[nnosipov]

$|\cos{n}|^{n^2}$ отделён от нуля при тех $n$, при которых $|\sin{n}|<C/n$.

[provincialka]

У меня другое решение. Рассмотрим последовательность наилучших приближений к числу $\pi$, т.е. такое, что $|\pi-\frac {m_k}{n_k}|<\frac 1{n_k^2}$. Значит, можно записать, что $m_k-\pi n_k=\alpha_k$, где $|\alpha_k|<\frac 1{n_k}$. Тогда $|\cos m_k|=\cos\alpha_k$. Оцениваем эту величину снизу двумя слагаемыми формулы Тейлора, учитывая границу для $\alpha$. Возводим в степень и переходим к пределу, он не равен 0.

[SpBTimes]

nnosipov
Все, дошло, спасибо :)

provincialka
Да, я делал так же :) Но спасибо! Вы остроумно с Тейлором поступили, а мне пришлось повозиться.

[provincialka]

SpBTimes, а мне, наоборот, больше понравился вариант nnosipov с синусом. Впрочем, это по сути то же самое.