Континуальная композиция

[Terraniux]

Добрый вечер.

Как доказать, что не более чем континуальная композиция не более чем континуальных множеств имеет мощность не более чем континуум?

Идея такова: возьмем множество $A\colon |A|=\mathfrak{c}$, композицию как $A\circ A$. Множество $A$ равномощно с множеством всех бесконечных последовательностей счетной длины. Тогда композиция представима как множество всех бесконечных последовательностей, каждая из которых представима как композиция каких-то двух последовательностей счетной длины, т.е. также имеет счетную длину. Таким образом, $A^2$ не более чем континуально. При этом, поскольку оно содержит $A$, оно не менее чем континуально. По теореме Кантора-Бернштейна это множество континуально.

Это верная идея? Если да, то как оформить строже?

[Xaositect]

Как у Вас определяется континуальная композиция? А то обычно ее определяют только для конечного числа, и не для произвольных множеств, а только для отношений.

[ИСН]

Плоскость.

[Terraniux]

Xaositect в сообщении #815803 писал(а):

Как у Вас определяется континуальная композиция? А то обычно ее определяют только для конечного числа, и не для произвольных множеств, а только для отношений.

(Ошибка в условии)

Я сказал глупость . Континуальная композиция - как я понимаю это что-то вроде $A\circ B\circ\ldots$, где участвует континуум таких $A$ и $B$ (мое предположение, не пинайте). Имелось в виду доказательство того, что $|X|,|Y| = \mathfrak{c} \Leftrightarrow |X\circ Y|=\mathfrak{c}. Подскажите, пожалуйста, где ошибка в моем док-ве этого факта..

[svv]

А ничего, что для континуума можно и не смочь указать конкретное «последнее» $A$, а для последнего $A$ — предпоследнее $B$?

[Terraniux]

svv в сообщении #815809 писал(а):

А ничего, что для континуума можно и не смочь указать конкретное «последнее» $A$, а для последнего $A$ — предпоследнее $B$?

Да, для континуума так написать нельзя. Но я только предположение высказал, постараюсь его лучше сформулировать.

(Оффтоп)

А идея хотя бы верная? И по исходной задаче?

[svv]

Раз для выбранного отношения нельзя указать соседнее, Вы в определении не сможете показать, как эти отношения комбинировать (данное — с каким???).

Через предел композиции конечного числа отношений? Но это совсем другая наука.

Может, всё-таки отношений конечное число? А континуум — элементов в отношениях?

[Terraniux]

svv в сообщении #815815 писал(а):

Раз для выбранного отношения нельзя указать соседнее, Вы в определении не сможете показать, как эти отношения комбинировать (данное — с каким???).

Через предел композиции конечного числа отношений? Но это совсем другая наука.

Может, всё-таки отношений конечное число? А континуум — элементов в отношениях?

Да, про то и речь (см мой ответ Xaositect), в исходной формулировке по незнанию допустил ошибку, а сама задача такова:
Д-ть, $|X|,|Y| = \mathfrak{c} \Leftrightarrow |X\circ Y| = \mathfrak{c}$.

[Xaositect]

Terraniux в сообщении #815817 писал(а):

Д-ть, $|X|,|Y| = \mathfrak{c} \Leftrightarrow |X\circ Y| = \mathfrak{c}$.

С равенствами это неправда, напр. $X = \{(0, z)|z\in\mathbb{R}\},Y = \{(z, 0)|z\in\mathbb{R}\}$. А если неравенство ($|X|, |Y| < \mathfrac{c}\Rightarrow |X\circ Y|<\mathfrac{c}$) - то тут все просто. Для отношения можно определить его проекции - множества первых и вторых координат. И тогда $X\circ Y\subset \mathrm{pr}_1(X)\times \mathrm{pr}_2(Y)$.

[Terraniux]

Xaositect в сообщении #815825 писал(а):

Terraniux в сообщении #815817 писал(а):

Д-ть, $|X|,|Y| = \mathfrak{c} \Leftrightarrow |X\circ Y| = \mathfrak{c}$.

С равенствами это неправда, напр. $X = \{(0, z)|z\in\mathbb{R}\},Y = \{(z, 0)|z\in\mathbb{R}\}$. А если неравенство ($|X|, |Y| < \mathfrac{c}\Rightarrow |X\circ Y|<\mathfrac{c}$) - то тут все просто. Для отношения можно определить его проекции - множества первых и вторых координат. И тогда $X\circ Y\subset \mathrm{pr}_1(X)\times \mathrm{pr}_2(Y)$.

А так правильно: $|X|, |Y| \leqslant \mathfrak{c} \Leftrightarrow |X\circ Y|\leqslant \mathfrak{c}$?

А разве мощность множества $X\circ Y$ в Вашем примере превосходит континуум?

[arseniiv]

Наоборот, мощность равна единице. Там только элемент $(0,0)$. Конечно, если композицию понимать в обратном порядке, будет тот же континуум, $\mathbb R^2$, но отношения обычно только первым способом композируют, чего не сказать об обозначении композиции функций.

[Xaositect]

Terraniux в сообщении #815827 писал(а):

А так правильно: $|X|, |Y| \leqslant \mathfrak{c} \Leftrightarrow |X\circ Y|\leqslant \mathfrak{c}$?

Нет, так тоже неверно. В левую сторону нет импликации, например, при $X = \{(x, y) | x\in\mathbb{R}, y\in \mathcal{P}\mathbb{R},x\in y\}$, $Y = X^{-1} = \{(y, x) | x\in\mathbb{R}, y\in \mathcal{P}\mathbb{R},x\in y\}$. Они гиперконтинуальны, а $X\circ Y = \mathbb{R}^2$.

[Terraniux]

Я идиот, вместо композиции надо было писать прямое произведение.
Так правильно? $|X|,|Y| \leqslant \mathfrak{c} \Leftrightarrow |X\times Y|\leqslant \mathfrak{c}$.

(Оффтоп)

Может, даже верно $X^\infty= \mathfrak{c}$?

[Someone]

Terraniux в сообщении #816191 писал(а):

вместо композиции надо было писать прямое произведение.

Ах, вон оно что, оказывается. А я всю голову сломал.

Terraniux в сообщении #816191 писал(а):

Так правильно? $|X|,|Y| \leqslant \mathfrak{c} \Leftrightarrow |X\times Y|\leqslant \mathfrak{c}$.

Правильно (в обратную сторону — если множества непустые).

Terraniux в сообщении #816191 писал(а):

Может, даже верно $X^\infty= \mathfrak{c}$?

Что такое $\infty$?

[Terraniux]

Someone в сообщении #816247 писал(а):

Что такое $\infty$?

Эту запись написал, имея в виду произведение счетного количества не более чем континуальных множеств

(Оффтоп)

наверное, записывается $X^\mathbb{N}$). Но, подозреваю, $|X^{\mathbb{N}}|=2^\mathfrak{c}$, если $|X|=\mathfrak{c}$. Подскажите, пожалуйста, где ошибка.