Теорема Хеллингера-Тёплица

[Braga]

Добрый день. Есть вопрос в билете на экзамене "какое значение имеет вышеупомянутая теорема". В учебнике роль его не описана, кроме самой формулировки и на лекциях этого тоже не было, поэтому вынуждены думать сами. Темы - пространство Гильберта, эрмитовы операторы, интегральные уравнения, уравнения в частных производных. Мне в голову не приходит как она может быть использована, помогите разобраться

-- 17.01.2014, 02:31 --

Что вообще понимают под областью определения оператора? Например, область определения эллиптического оператора - функции имеющие непрерывную вторую производную и удовлетворяющие некоторым условиям. То есть это набор условий, которые мы накладываем на оператор сами? Или есть ограничения на существование результата функции? Ведь эллиптический оператор может действовать и на функцию которая не удовлетворяет его краевым условиям, но имеет вторую производную.

[ewert]

Braga в сообщении #815443 писал(а):

Что вообще понимают под областью определения оператора?

Множество, на котором оператор определён.

Braga в сообщении #815443 писал(а):

То есть это набор условий, которые мы накладываем на оператор сами? Или есть ограничения на существование результата функции?

Накладываем, естественно, сами, но в пределах существующих ограничений, разумеется. Например, мы не имеем права определять оператор дифференцирования на разрывных функциях, оставаясь в рамках классического анализа.

Braga в сообщении #815443 писал(а):

Ведь эллиптический оператор может действовать и на функцию которая не удовлетворяет его краевым условиям, но имеет вторую производную.

Может, но это будет уже формально другой оператор. И оператор с другими граничными условиями -- тоже другой, причём принципиально: например, у него будет другой спектр. Не говоря уж о том, что граничные условия обычно имеют вполне определённый физический смысл. В общем, говорить об операторе безотносительно к его области определения невозможно (если, конечно, этот оператор неограничен).