Ядро интегрального оператора

[Braga]

Помогите разобраться! Опять проблема со скалярным произведением функций :)
У Владимирова в "уравнениях математической физики" даётся док-во
теоремы об ограниченности оператора $\| \widehat{K} \varphi \| \leqslant MV \| \varphi \|$, где M - максимум ядра оператора, V
- мера области, на которой задан оператор.


Доказывают так
$\| \widehat{K} \varphi \| = \int_G \vert \widehat{K} \varphi \vert^2 dx=\int_G \vert \int_G k(x,y) \varphi (y) dy \vert^2 dx=\int_G \vert ( k(x,y),\varphi (y) )\vert^2 dx$

Мой вопрос как превратили интеграл по dy в скалярное произведение?
Вторая функция должна быть комплексно сопряжённой, то есть
$(k(x,y),\varphi (y))=\int_G k(x,y) \overline{\varphi (y)} dy \neq \int_G \varphi (y) \overline{k(x,y)} dy=(\varphi (y), k(x,y))$
Раннее говорилось, что оператор задан на $k(x,y) : G\times G \rightarrow \mathbb{C}$ и $\varphi(x) \in L_2(G)$
То есть ничего о вещественности функций

[Dan B-Yallay]

Там вроде модули стоят. А им что сопряженное, что нет...