a^2+b^2=c^2+d^2

[master]

$a^2+b^2=c^2+d^2$
есть ли решение в натуральных числах?
где можно почитать?
заранее спасибо.

[ИСН]

Находите любое число, у которого больше одного представления в виде суммы джвух квадратов (65, например) - вот и решение.

[master]

спасибо

-- Ср янв 15, 2014 13:43:49 --

a
$a^2+b^2+c^2=d^2+e^2+f^2$?
исключая тривиальный от исходного.

[Евгений Машеров]

$a^2-d^2=c^2-b^2=K=(a+d)(a-d)=(c+b)(c-b)$
Находим К такое, что допускает разложение на множители двумя способами, например, $24=2\cdot 12=4\cdot 6$
$a+d=12$
$a-d=2$
a=7, d=5
$c+b=6$
$c-b=4$
c=5, b=1
$49+1=50=25+25$

[Shadow]

А параметризация четверок, не имеющий общий делитель, если кому надо, можно построить:

$\\a=2pq/\Delta\\ b=(p^2+r^2-q^2)/\Delta\\ c=2pr/\Delta\\ d=(p^2+q^2-r^2)/\Delta\\$

$\\\gcd(p,q,r)=1\\ p \in N\\ q,r \in Z\\ \Delta=\gcd(a,b,c,d)$

Одинаковые пары получаются при $|q|=|r|,|p-q|=|r|$

Ну, можно подбирать параматры, чтобы $a,b,c$ были положительными, а d - модуль.

[master]

всем большое спасибо.
ну а как же
$a^2+b^2+c^2=d^2+e^2+f^2$?

[Shadow]

Так же. Что конкретно интересует? Есть ли разные такие тройки? - Есть.
Решение? 5-параметрическое устроит? Зачем? Кому это нужно?
Если по 10 слагаемых в обеих частей поставите - опять будут.

[master]

Shadow
$p=3,r=2,q=1$?

[Shadow]

master в сообщении #814629 писал(а):

Shadow
$p=3,r=2,q=1$?

Что?
$\\a=2\cdot 3 \cdot 1=6\\ b=9+4-1=12\\ c=2\cdot 3 \cdot 2 =12\\ d=9+4-1=6$

Или, после деления на НОД $(1,2);(2,1)$

Shadow в сообщении #814592 писал(а):

Одинаковые пары получаются при $|q|=|r|,|p-q|=|r|$

$|3-1|=|2|$

[master]

$9+4-1=6$?

-- Ср янв 15, 2014 18:33:36 --

Shadow
это я туплю, недосып хронический

[Shadow]

(Оффтоп)

Но Вы правильно замечание сделали. У меня описка, конечно $d=p^2+q^2-r^2=9+1-4=6$

[master]

Shadow в сообщении #814622 писал(а):

Зачем? Кому это нужно?

$a^n=b^2-c^2, \forall a>1,n>2$
отсюда просматриваю знакомую всем теорему.
$a^2-b^2+c^2-d^2=e^2-f^2$
ни чего особенного

-- Чт янв 16, 2014 10:14:56 --

Shadow
если не сложно можете объяснить как вы провели параметризацию

[Shadow]

master в сообщении #815020 писал(а):

Shadow
если не сложно можете объяснить как вы провели параметризацию

Метод секущих. К сожалению, все примеры и объяснения, которые я читал, были для кривых на плоскости. Там все ясно. А здесь надо для поверхности в пространстве. Разбирался самостоятельно, по аналогии, так что мог и не учесть некоторые особенности. Мне было бы интересно где нибудь почитать об этом, а не изобретать теплую воду.
Секущие для гипербполоида $x^2+y^2-z^2=1$ через точку $(0,-1,0)$. Секущие прямые

$\\y=kx-1\\ z=mx$

$k,m$ - рациональные параметры. $k=\frac p q,m=\frac r q$
Есть неприятные моменты, которые исчезают при переходе от рациональных к целым....зато появляются другие - с знаками. Но в данном конкретном уравнении можно подбирать параметры так, чтобы все переменные были неотрицательными.

[svv]

master в сообщении #814611 писал(а):

ну а как же
$a^2+b^2+c^2=d^2+e^2+f^2$?

$129=10^2+5^2+2^2=8^2+7^2+4^2$

[master]

Shadow
спасибо попробую разобраться.

svv в сообщении #815139 писал(а):

$129=10^2+5^2+2^2=8^2+7^2+4^2$

спасибо
забавно все разности не взаимно простые, если это справедливо для всех случаев...