Странный ряд

[Limit79]

Найти область сходимости функционального ряда:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left ( 1 - \cos \left ( \frac{x}{n^2} \right ) \right )$$

Пользуюсь тем, что

$$1 - \cos \left ( \frac{x}{n^2} \right ) \sim \frac{x^2}{2n^4}$$

при

$$n \to \infty$$

Тогда:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left ( \frac{x^2}{2n^4} \right ) = \frac{x^2}{2} \cdot \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left ( \frac{1}{n^4} \right )$$

Последний ряд сходится, то есть область сходимости исходного ряда $x \in \mathbb{R}$?

Спасибо! (:

[Otta]

Да, верно. Только один нюанс: эквивалентность сия не имеет места, если $x=0$. (Вернее, такое обоснование не годится.)

[Limit79]

Otta
А при $x=0$ будет $\sum\limits_{n=1}^{\infty} 1 = 1$?

[Otta]

[Limit79]

Otta
А, $\sum\limits_{n=1}^{\infty} 0 = 0$?

[Otta]

Limit79, а Вы сами не уверены?

[Limit79]

Otta
Это логично, как минимум