2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Странный ряд
Сообщение13.01.2014, 00:38 
Найти область сходимости функционального ряда: $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left ( 1 - \cos \left ( \frac{x}{n^2} \right ) \right )$$

Пользуюсь тем, что $$1 - \cos \left ( \frac{x}{n^2} \right ) \sim \frac{x^2}{2n^4}$$ при $$n \to \infty$$

Тогда: $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left ( \frac{x^2}{2n^4} \right ) = \frac{x^2}{2} \cdot \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left ( \frac{1}{n^4} \right )$$

Последний ряд сходится, то есть область сходимости исходного ряда $x \in \mathbb{R}$?

Спасибо! (:

 
 
 
 Re: Странный ряд
Сообщение13.01.2014, 00:40 
Да, верно. Только один нюанс: эквивалентность сия не имеет места, если $x=0$. (Вернее, такое обоснование не годится.)

 
 
 
 Re: Странный ряд
Сообщение13.01.2014, 00:48 
Otta
А при $x=0$ будет $\sum\limits_{n=1}^{\infty} 1 = 1$?

 
 
 
 Re: Странный ряд
Сообщение13.01.2014, 00:56 
:shock:

 
 
 
 Re: Странный ряд
Сообщение13.01.2014, 00:58 
Otta
А, $\sum\limits_{n=1}^{\infty} 0 = 0$?

 
 
 
 Re: Странный ряд
Сообщение13.01.2014, 01:00 
Limit79, а Вы сами не уверены? :D

 
 
 
 Re: Странный ряд
Сообщение13.01.2014, 01:20 
Otta
Это логично, как минимум :-)

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group