2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Исследовать ряд на сходимость
Сообщение12.01.2014, 22:53 
Есть вот такой ряд: $$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n \ln(n)}{n \sqrt{n}}$$

Он сходится абсолютно, чтобы это доказать, пытаюсь оценить $\frac{\ln(n)}{n \sqrt{n}}$ чем-нибудь сходящимся сверху, но не получается.

Подскажите, пожалуйста, в какую сторону думать :|

 
 
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение12.01.2014, 22:56 
А чем Вы пытались оценивать?

 
 
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение12.01.2014, 22:57 
Аватара пользователя
Докажите, что $\ln(n) < n^a$ для любого $a > 0$ начиная с какого-то номера

 
 
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение12.01.2014, 22:59 
Otta
Сверху приходит на ум только $\frac{n}{n \sqrt{n}}$, но ряд с этим общим членом расходится, увы.

 
 
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение12.01.2014, 23:00 
Ну так очень грубо степень выбрал.

 
 
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение12.01.2014, 23:12 
SpBTimes
Тут две мысли: $n < e^{n^{a}}$, так как $e>2$, то $2^{n^a} < e^{n^a}$, а вот дальше не знаю что...
Либо рассмотреть функцию $f(x) = x^a - \ln(x)$.

-- 13.01.2014, 00:14 --

Otta
$\frac{\sqrt{n}}{n \sqrt{n}}$, но тоже расходится. А из каких соображений выбирать степень?

 
 
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение12.01.2014, 23:15 
Видимо, чтоб сходился. А оценка используется именно того вида, что SpBTimes подсказал.

 
 
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение12.01.2014, 23:21 
Тут такая штука получается: чтобы сходился $$\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{n^a}{n \sqrt{n}} = \sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{3}{2} - a}}$$ достаточно чтобы $$a< \frac{1}{2}$$

но при все таких $a$ $$\frac{\ln(n)}{n \sqrt{n}} \geqslant \frac{n^a}{n \sqrt{n}}$$ начиная с какого-то номера $n$

 
 
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение12.01.2014, 23:22 
Аватара пользователя
Limit79 в сообщении #813540 писал(а):
но при все таких $a$ $$\frac{\ln(n)}{n \sqrt{n}} \geqslant \frac{n^a}{n \sqrt{n}}$$ начиная с какого-то номера $n$

Это почему?

 
 
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение12.01.2014, 23:27 
SpBTimes
Хотя да, это неверно, я по графикам смотрю, а они сильно сближаются.

 
 
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение12.01.2014, 23:28 
Аватара пользователя
Поведение логарифма и степенной функции в бесконечности легко сравнить с помощью правила Лопиталя. Вам про это не рассказывали?

 
 
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение12.01.2014, 23:36 
provincialka
Вы, кстати, и рассказывали :-) только я что-то про это не подумал.

$$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^a}{\ln(n)} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{an^{a-1}}{\frac{1}{n}} = \lim\limits_{n \to \infty} (an^a) = \infty$$ при $a>0$, то есть $n^a > \ln(n)$ начиная с некоторого номера $n$

-- 13.01.2014, 00:40 --

и, тогда $$ \frac{\ln(n)}{n \sqrt{n}} <  \frac{n^{\frac{1}{3}}}{n \sqrt{n}}$$ начиная с некоторого $n$.

Ряд $\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{n^{\frac{1}{3}}}{n \sqrt{n}}$ сходится, значит сходится и исходный

Так ли?

 
 
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение12.01.2014, 23:48 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Limit79 в сообщении #813565 писал(а):
Вы, кстати, и рассказывали :-)
Надеюсь. не на лекциях? Не хотелось бы терять инкогнито :facepalm:
Limit79 в сообщении #813565 писал(а):
Так ли?
Так.

 
 
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение12.01.2014, 23:56 
provincialka

(Оффтоп)

Нет, не на лекциях.


Otta
SpBTimes
provincialka
Спасибо за помощь!

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group