Сходимость функций из пространства основных функций

[Felt]

Допустим последовательность функций $ (f_k (\vec x) )_{k=1}^{\ifnty} $, где $f_k \in D(R)$, $\forall k \in \mathbb{N}$ сходится к функции $f \in D(R)$. Означает ли это, что она сходится к f равномерно? У меня предчувствие, что сходится, но доказать этого не могу. Вроде бы это должно вытекать из критерия сходимости для функциональных последовательностей, потому что $\sigma_k=\sup|f_k-f|$ должно по идее стремиться к нулю, но я не уверен... Так ли это? Думаю я так, потому что эти функции финитны и обязательно имеют максимум, нигде не должно выскочить ничего непредвиденного

[Otta]

Во-первых, почему $x$ вектор, если над $R$? А во-вторых, чуть ли не первое, что определяется для этого пространства - это топология, т.е. именно что означает сходимость. Откройте учебник и прочитайте.

[Felt]

С вектором косяк вышел. Допустим одноразмерная функция, значит просто R. Не совсем понял вашу претензию... При чём здесь топология? Есть поточечная, есть равномерная сходимость, не рассматриваю пока другие. Берём функцию, предельная функция которой - f. Дальше я хочу узнать сходится ли она поточечно или равномерно.


В моём учебнике добавляется ещё один вид сходимости - сходимость на пространстве D, означающая, что $D^\alpha f_k (x)$ сходится равномерно к $D^\alpha f(x)$ для каждого индекса $\alpha$. Поточечная и равномерная сходимость определены аналогично как и для обычной функциональной последовательности. Но меня интересует не является ли финитность и бесконечная дифференцируемость функцию(что означает её прнадлежность пространству основных функций) достаточным условием для равномерной сходимости

[Otta]

Хорошо, раз слово топология в этом контексте Вам ни о чем не говорит, просто игнорируйте его. При определении пространства основных функций описываются не только элементы, составляющие это пространство, но и что означает сходимость в этом пространстве. Иначе да, возникали бы вопросы, подобные Вашему, а их возникать не должно.

-- 13.01.2014, 01:35 --

Felt в сообщении #813488 писал(а):

В моём учебнике добавляется ещё один вид сходимости - сходимость на пространстве D, означающая, что $D^\alpha f_k (x)$ сходится равномерно к $D^\alpha f(x)$ для каждого индекса $\alpha$.

Вот именно, и раз сходимость равномерная, то добавляется еще и множество, на котором она должна быть.

Felt в сообщении #813488 писал(а):

Но меня интересует не является ли финитность и бесконечная дифференцируемость функцию(что означает её прнадлежность пространству основных функций) достаточным условием для равномерной сходимости

Разумеется, нет.

[SpBTimes]

Вопрос, наверное, в следующем (не в смысле сходимости в пр-ве обобщенных функций). Пусть имеется последовательность бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем, и пусть эта последовательность поточечно сходится на $\mathbb{R}$ к бесконечно дифференцируемой функции с компактным носителем. Следует ли, что сходимость равномерная?
Ответ: нет.

[Felt]

Почему нет? Как я написал выше, если возьмём $\sigma_k=\sup|f_k-f|$, то во-первых этот супремум существует, потому что существует максимум у каждой из этих функций и затем последовательность $(\sigma_k)_{k=1}^{\infty}$ стремится к нулю, разве нет? А это достаточное условие равномерной сходимости

[Otta]

Возьмите произвольную фиксированную шапочку. И тащите ее, например, вправо.

[Felt]

Вы имеете в виду, например, так? $f_n (x)=e^{\frac {1}{(x-\frac {5}{n})^2-1}}$ ну и аналогично сдвигать область, где она нулевая. В пределе она перейдёт в симметричную функцию относительно начала координат. И либо я не совсем правильно понимаю этот критерий сходимости, либо она равномерно сходится...
Супремум я искать не стал, но если это просто нарисовать, то можно видеть, что до определённого n супремум будет равен e и затем, когда один из графиков "наедет" на другой и его край будет там, где центр симметрии его предельной функции, то супремум станет уменьшится и постепено станет нулём.

[Otta]

Давайте отвлечемся от пространства основных функций, у Вас проблемы в другом месте.

Возьмите, например, ступеньку $f_k(x)=1$ при $x\in (k,k+1)$, нулевую при остальных значениях аргумента. Сходится ли эта последовательность поточечно? Если да, то куда?
Сходится ли равномерно на всей вещественной прямой?

[Felt]

Она ни к какой функции не сходится, ни поточечно, ни равномерно, будет "с одинаковой скоростью" сдвигаться вправо бесконечно и всё.

[Otta]

Неправда Ваша. Обоснуйте.

[Felt]

Ну тогда другое предположение, что она сходится к нулевой функции. Но я бы так не предположил, не зная ответа "нет".

[Otta]

Да, сходится к нулевой. Все равно обоснуйте.

[Felt]

И сходится она, в таком случае, поточечно. Опять же, если посмотреть на супремум, то он всегда будет равен одному и в пределе не равен нулю.

[Otta]

Примерно ту же махинацию можно проделать и в исходном случае, и именно это и предлагалось. Другое дело, что сходимость в пространстве основных функций не предполагает равномерной сходимости на всей прямой, но Вы спрашивали не об этой сходимости.