задача по элементарной геометрии

[function]

Недавно придумал геометрическую задачку:

$\mbox{ В равнобедренной трапеции} \; ABCD \; \mbox{с основаниями}\; AD \; \mbox{и} \; BC \; \mbox{диагонали пересекаются в точке}\\ $O$. \; \mbox{В}\; \mbox{треугольники} \; AOB \; \mbox{и}\; COD \; \mbox{вписали по окружности с центрми}\; $O_1$ и $O_2$ соответственно. Через точку $O$ провели высоту $H_1 H_2$, причём точка $H_1$ лежит на основании $BC$, точка $H_2$ --- на основании $AD$. Около четырёхугольника $O_1 H_1 O_2 H_2$ описали окружность радиуса $R$.\\ Найти $O_1 H_1^2+O_2 H_2^2$.$

Оцените, пожалуйста, её.

[gris]

$4R^2$

[provincialka]

А зачем окружность описывали? В вопросе же она вроде не участвует?

[gris]

Тут ключевое слово — "описали". Раз описали, то описали. А то ведь могли и не описать. Не каждая трапеция, понимаешь, такое позволяет.

[function]

Да, действительно. Окружность здесь лишняя, а может и нет ... В общем, я вижу задача слишком простая.

[gris]

Как это лишняя? А что же тогда дано? Какое число (длина, площадь)?

Задача, конечно, простая, но в ней есть методический подвох. Вдруг такой трапеции вообще не существует? У меня как-то был подобный экзерсис. Я решил, что раз написано, что окружность описана, то это говорит о том, что такая трапеция просто обязана существовать. Но мне указали, что без доказательства существования или приведения примера, решение не полно.

[function]

gris, всё верно, ничего она не лишняя, просто меня немного смутила provincialka. Как можно усложнить эту задачу?

[provincialka]

gris, спасибо, не подумала.

[gris]

Я выше подписал в своё сообщение. А как усложнить — в этом и сложность составления задач. Я, право, и не соображу сразу так.

[provincialka]

function, а вы как хотите усложнять? Наворотить еще пару окружностей и тройку отрезков? Попробуйте построить что-то труднореализуемое, чтобы неясно было как нарисовать. Или чтобы рисовали неверно.

[nnosipov]

provincialka в сообщении #813016 писал(а):

Попробуйте построить что-то труднореализуемое, чтобы неясно было как нарисовать. Или чтобы рисовали неверно.

Скажите это геогебре какой-нибудь, там чего только не нарисуешь, и всё правильно. Нет, в хорошей задаче даже верная картинка не должна подсказывать.