дифференц уравнеие

[accord]

Вот такая задача, даны функции x x^2 x^3,которые составляют ФСР, доказать ,что из него можно составить линейной однородное дифференциальное уравнение, уравнение составил ,а доказать не могу, что можно .По идее ,надо доказать линейную независимость функций, сначала я составил матрицу из коэффициентов, препод сказал, что не верно, тогда я решил так: I1*x+I2*x^2+I3*x^3=0, а дальше не могу доказать, что нельязя найти такие I1,I2,I3, чтобы хотя бы одно из них не ровнялось 0 и уравнение обращалось бы в 0, препод сказал использовать "основное уравнеие алгебры" и как-то при помощи Гауса решать,помогите пожалуйста!![/math]

[Brukvalub]

accord писал(а):

Вот такая задача, даны функции x x^2 x^3,которые составляют ФСР, доказать ,что из него можно составить линейной однородное дифференциальное уравнение

Вы бы не могли использовать при составлении фраз правила русского языка о согласовании родов, падежей и т.п. Эту Вашу фразу я понять не смог.
Но про основную теорему алгебры я слышал, и из нее следует, что многочлен ненулевой степени с коэффициентами из поля вещ. чисел не может иметь корней больше, чем величина степени его старшего члена.

[accord]

Пишу еще раз:
Даны функции ,которые составляют фундаментальную сист решений:

y=x; y=x^2; y=x^3
доказать ,что из ФСР можно составить линейной однородное дифференциальное уравнение, другими словами, надо доказать, что в уравнении n1*x+n2*x^2+n3*x^3=0 верно только когда n1,n2,n3 равны 0 (условие независимости)

Добавлено спустя 11 минут 9 секунд:

хм, тогда может так получается, если многочлен третьей степени, как у меня ,не может иметь больше 3 корней, то в остальных случаях простот должны быть равны 0 коэффициенты перед x, следовательно, система линейно независима?

[Brukvalub]

Вот-вот..

[accord]

еще вопросик, вот наша ФСР y=C1x+C2x^2+C3x^3 ,чтобы составить по ней линейное однородное дифференциальное уравнеие нужно дифференцровать несколько раз, потом домножать на x и числа , так, чтобы при сложении систем их в правой части 0 получился, а слева какое-то уравнение??

[Brukvalub]

А разве Вы не можете догадаться, общим решением какого однородного д.у. является многочлен 3-й степени?

[Lion]

Вообще, есть теорема о том, что если определитель Вронского набора функций не равен 0 на каком-то интервале, то существует линейное однородное уравнение (в данном случае степени 4), решениями которого будут данные функции. Для этого нужно в определитель Вронского дописать столбец неизвестной функции y, и добавить последнюю строчку из 4-ых производных. После этого определитель нужно разложить по последнему столбцу.

[accord]

Brukvalub писал(а):

А разве Вы не можете догадаться, общим решением какого однородного д.у. является многочлен 3-й степени?

ну поскольку три линейных функции, наверное будет уравнение третьего порядка??
дело в том, что там многочлен начинается не с 1, а с x.... было бы 1,x,x^2 итд я бы написал, а вот как 1 исключить?

[Brukvalub]

Вы правы, я невнимательно посмотрел формулировку задачи. Тогда остается сделать так, как рекомендует Lion.

[accord]

Lion писал(а):

Вообще, есть теорема о том, что если определитель Вронского набора функций не равен 0 на каком-то интервале, то существует линейное однородное уравнение (в данном случае степени 4), решениями которого будут данные функции. Для этого нужно в определитель Вронского дописать столбец неизвестной функции y, и добавить последнюю строчку из 4-ых производных. После этого определитель нужно разложить по последнему столбцу.

а можно поподробнее, как матрицу Вронского заполнять, получается будет 4 на 4? Последняя строка понятна- четыре производные, а остальные как?

[Brukvalub]

см. http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s ... u.htm#s103 , п 14.5.7, или
http://ruatom.ru/mat/matan3/15.htm

[accord]

как из ФСР составить линейное однородное уравнение-я понял, а как по Вронскому проверить, можно ли это сделать-я не понял, объясните еще раз пожалуйста

[V.V.]

accord писал(а):

как из ФСР составить линейное однородное уравнение-я понял, а как по Вронскому проверить, можно ли это сделать-я не понял, объясните еще раз пожалуйста

Посчитать определитель Вронского и сравнить результат с нулём.

[accord]

V.V. писал(а):

accord писал(а):

как из ФСР составить линейное однородное уравнение-я понял, а как по Вронскому проверить, можно ли это сделать-я не понял, объясните еще раз пожалуйста

Посчитать определитель Вронского и сравнить результат с нулём.

так мы его и так к 0 приравниваем, когда составляем линейное однородное дифф. уравнение?

[Brukvalub]

Lion писал(а):

есть теорема о том, что если определитель Вронского набора функций не равен 0 на каком-то интервале, то существует линейное однородное уравнение (в данном случае степени 4), решениями которого будут данные функции.

Вот так (по теореме) и проверяйте.