Не могу найти коэффициенты при разложении в ряд Лорана

[moist]

Собственно задача разложить функцию

$f(z) = \frac{z + 3}{(z + 2)(z - 1)}$

по степеням $(z + 1)$ в кольце

$D = \{z:\; 1 < |z + 1| < 2 \}$

Общий вид решения явно подобный:

$f(z) = (z + 3) \sum_{-\infty}^\infty \ldots (z + 1)^n$

Дробь я разложил:

$\frac{1}{(z+2)(z-1)} = \frac{4/3}{(z - 1)} + \frac{-1/3}{(z + 2)}$

Теперь нужно найти два ряда, воспользовавшись разложением геометрической прогрессии (которая $\frac{1}{1 - z} = \sum_{n = 0}^\infty z^n$)

Разложение начал, но до конца не могу свести. В первой дроби мешает знак. Можно вычитая или складывая число добиться нужной скобки, но это число куда-то потом деть надо. У второй дроби еще и от двойки надо избавиться (по избавлению от нее мыслей толком нет).

$\frac{1}{z + 2} = \frac{1}{(z + 1) + 1} = \frac{1}{(z + 1)} \cdot \frac{1}{(1 + \frac{1}{z + 1})}$

$\frac{1}{z - 1} = \frac{1}{(z + 1) - 2} = \frac{1}{(z + 1)} \cdot \frac{1}{(1 - \frac{2}{z + 1})}$

Может подтолкнете дальше, ближе к решению?

[Otta]

moist в сообщении #812261 писал(а):

Дробь я разложил:
$\frac{1}{(z+2)(z-1)} = \frac{4/3}{(z - 1)} + \frac{-1/3}{(z + 2)}$

Неверно разложил, коэффициенты другие. Вернее, это хорошее разложение, но для другой дроби. ))

moist в сообщении #812261 писал(а):

которая $\frac{1}{1 - z} = \sum_{n = 0}^\infty z^n$

Когда верно это разложение?

[popolznev]

moist в сообщении #812261 писал(а):

Общий вид решения явно подобный:

$f(z) = (z + 3) \sum_{-\infty}^\infty \ldots (z + 1)^n$

Не такой будет вид решения. $z+3$ - уже не то.

[moist]

Otta в сообщении #812268 писал(а):

Неверно разложил, коэффициенты другие. Вернее, это хорошее разложение, но для другой дроби. ))

Блин, точно. Там

$\frac{1/3}{(z-1)} -\frac{1/3}{(z+2)}$

Видимо я для исходной функции привел. Но, если я не ошибаюсь, это проявится в конечном итоге только. Когда я получу два ряда и домножу на эти коэффициенты, если конечно не использовать их при разложении в ряд (вдруг полезны, а не мешаются. но я все лишнее пытаюсь вынести).

Otta в сообщении #812268 писал(а):

Когда верно это разложение?

При $|z| < 1$, я не стал писать, думаю поймут меня.

[Otta]

moist в сообщении #812272 писал(а):

Видимо я для исходной функции привел.

А для какой надо? :)

moist в сообщении #812272 писал(а):

При $|z| < 1$, я не стал писать, думаю поймут меня.

Нет, не поймут, потому что это Вам надо в первую очередь.
А при $|z|>1$ как ту же дробь в виде ряда представить?

[provincialka]

Дело на в том, что поймут. Дело в том, что для разных колец нужны разные преобразования дроби. С учётом как раз этого условия.

[moist]

popolznev в сообщении #812271 писал(а):

Не такой будет вид решения. $z+3$ - уже не то.

Разве числитель нельзя вынести? Я так в ряд Тейлора раскладывал и было нормально. И явно степень $(z + 1)^n$ будет. Проблема сейчас именно эти две дроби преобразовать, чтобы подошли под указанное основное разложение. Я лично так понимаю.

Otta в сообщении #812274 писал(а):

А для какой надо? :)

Я вынес числитель и оставил там единицу. Эту дробь и разложил. Итого:

$\frac{1}{(z - 1)(z+2)} = \frac{1/3}{(z - 1)} - \frac{1/3}{(z + 2)}$

Дальше используя основное разложение ($\frac{1}{1 - z} = \sum_{n = 0}^\infty z^n$ где $|z| < 1$) пытаюсь это разложить по степеням $(z + 1)^n$. Момент, где я застрял, так и остается обозначенным в первом посте. Надо две эти дроби как-то преобразовать, чтобы можно было воспользоваться разложением...

[Otta]

moist в сообщении #812261 писал(а):

$f(z) = (z + 3) \sum_{-\infty}^\infty \ldots (z + 1)^n$

$z+3$ не является степенью $z+1$. Поэтому здесь выносить не надо, себе дороже.

moist в сообщении #812277 писал(а):

Дальше используя основное разложение ($\frac{1}{1 - z} = \sum_{n = 0}^\infty z^n$ где $|z| < 1$) п

Вы не поняли. Разложите только что упомянутую дробь по степеням $z$ в кольце $|z|>1$. Как разложение при $|z|<1$ выглядит, Вы уже написали.

[provincialka]

moist в сообщении #812261 писал(а):

$\frac{1}{z + 2} = \frac{1}{(z + 1) + 1} = \frac{1}{(z + 1)} \cdot \frac{1}{(1 + \frac{1}{z + 1})}$

$\frac{1}{z - 1} = \frac{1}{(z + 1) - 2} = \frac{1}{(z + 1)} \cdot \frac{1}{(1 - \frac{2}{z + 1})}$

Первое преобразование удачное,а второе - нет. Именно потому, что после 1 стоит большое по модулю число. Попробуйте вынести за скобку другое слагаемое. (всегда выносится б'ольшее)

[moist]

Otta в сообщении #812279 писал(а):

Вы не поняли. Разложите только что упомянутую дробь по степеням $z$ в кольце $|z|>1$. Как разложение при $|z|<1$ выглядит, Вы уже написали.

Я реально не понимаю... Ведь в задании сказано разложить по другой степени и у разложения стоит такое ограничение...

provincialka в сообщении #812281 писал(а):

Первое преобразование удачное,а второе - нет. Именно потому, что после 1 стоит большое по модулю число. Попробуйте вынести за скобку другое слагаемое. (всегда выносится б'ольшее)

Хорошо, попробую.

[Otta]

moist в сообщении #812287 писал(а):

Я реально не понимаю... Ведь в задании сказано разложить по другой степени и у разложения стоит такое ограничение...

Вас не смущает, что в задании нет и того ряда, на который Вы сослались? Который тоже в другой области и тоже по другим степеням?
Видимо, нет.
Научитесь здесь, с этим рядом, и тогда с другими будет меньше вопросов.

Впрочем, как хотите. Можете сразу в боевых условиях.

[moist]

Да по сути и получается, что в боевых условиях и происходит, эту тему проходили бегло.

В задании действительно не сказано как разложить, указана только степень. Мы вообще через разложение геометрической прогрессии ($\frac{1}{1 - q} = \sum q^n$, $|q| < 1$ если не ошибаюсь. только уже комплексное число.) и раскладывали в ряды Тейлора и Лорана (по крайней мере функции, которые представляют из себя такие вот простые дроби без тригонометрических функций и прочего). Представляли это $z$ в виде выражения, которое подходит под условие, и раскладывали так в ряд. Эти попытки и излагал в первом посте темы. Возможно, я мыслю слишком ограниченно.. :(

[provincialka]

Да все у вас нормально, только вынесите во второй дроби не $z+1$, а $-2$.

[ewert]

moist в сообщении #812261 писал(а):

Дробь я разложил:

$\frac{1}{(z+2)(z-1)} = \frac{4/3}{(z - 1)} + \frac{-1/3}{(z + 2)}$

И сделали это совершенно напрасно. Во-первых, бессмысленно сначала заменять числитель на единичку, а потом домножать -- для исходного числителя дробь раскладывается ровно с тем же успехом. Во-вторых, сначала сделайте практически обязательную замену $z+1=w$, и уже только потом раскладывайте получившуюся дробь и всё прочее.