Выделить главный член

[Xvovan3]

Выделить главный член вида $Cx^n, C\not= 0, x\to 0$, функции $f(x)=(1+x)^{1/x}-e(\sqrt {1-x+x^2/2}+\sqrt[3] {1+x^2}-1) $

Не знаю, как выделить главный член вида...
Подскажите, как решать задания такого рода

[Otta]

Используйте формулу Тейлора.

[Xvovan3]

А что делать после разложения? Если я не ошибаюсь, то такого рода задания как то связаны с пределами.

[Otta]

Никак не связаны. Вернее связаны, но в анализе все связано с пределами. Интеграл собственный - предел, несобственный - предел, производная - предел... но не спускаться же все время на этот уровень.

Разложите, много всего уйдет, что-то останется, что-то из этого всего и будет определять рост функции, т.е. быть главным членом разложения. Определение главного члена какое?

[Xvovan3]

Это вроде выражение, которому эквивалентна исходная функция. Опять же, если я не ошибаюсь.

(Оффтоп)

К своему стыду должен признать свое абсолютное не владение данной темой

[ewert]

Со всеми слагаемыми, кроме первого, всё раскладывается вполне тривиально по стандартным формулам Тейлора (в смысле Маклорена) для элементарных функций. Ну а первый -- прологарифмируйте, разложите что получится (это опять же элементарно), а потом возьмите не менее тупо экспоненту от получившегося.

[Otta]

Xvovan3 в сообщении #810911 писал(а):

Это вроде выражение, которому эквивалентна исходная функция.

В общем, да.

Так овладевайте. Только для этого Вы выбрали неподходящий пример. Возьмите что попроще:
1) $-2x^2+3x^5$
2) $e^{2x}-1$
3) $\sin x -x$.
Найти главный член в нуле.
В задачниках еще есть.

[Xvovan3]

Спасибо!) Вроде идею я понял, сейчас попробую сделать. (ewert, я в принципе так и собирался делать;)

[ewert]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #810929 писал(а):

Найти главную часть в нуле.

Боюсь, что это вредно. Главные части могут ведь и посокращаться. Эта задачка -- явно на осознанное применение именно стандартных разложений представлений.

Или я чего не понял?...

[Otta]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #810932 писал(а):

Или я чего не понял?..

Наверное.

[ewert]

Xvovan3 в сообщении #810931 писал(а):

я в принципе так и собирался делать;)

Ну и бог в помощь; только на всякий случай не забывайте аккуратно выписывать формальные оценки остатков. Поскольку иначе, во-первых, вы можете лопухнуться (что учитывать, а что не обязательно), а во-вторых, Вас могут по этому поводу прищучить (и правильно сделать, см. п. 1).

[Xvovan3]

Может кто проверить решение?

[ewert]

Нет, картинку -- никто не может. Всем невместно.

[Xvovan3]

То беж только вбивать?

[Otta]

Порядок правильный, в коэффициенте где-то ошибся. А так да, глаза ломать никому неохота.