отображение в шкале банаховых пространств

[Oleg Zubelevich]

Пусть $\{(E_s,\|\cdot\|_s)\}_{s\in[0,1)}$ -- шкала банаховых пространств:

$$E_{s+\delta}\subseteq E_{s},\quad \delta>0,\quad \|\cdot\|_s\le\|\cdot\|_{s+\delta}$$

Рассмотрим отображение
$f:E_{0}\to E_0$ такое, что

$$ f(E_s)\subseteq E_s,\quad\|f(x)-f(y)\|_s\le\|x-y\|_s-s(1-s)\|x-y\|_{s^2},\quad s\in(0,1)$$

Теорема. Отображение $f$ имеет неподвижную точку $\hat x\in\cap_{s\in(0,1)}E_s$.

Пока пусть будет как задача

[sup]

Перепишем условие в другом виде
$s(1-s)\|x-y\|_{s^2} \leqslant \|x-y\|_s - \|f(x)-f(y)\|_s$
Теперь уже легко видеть, что процесс последовательных приближений сходится в норме $\| \cdot \|_{s^2}$

[Oleg Zubelevich]

да, действительно, спасибо

[sup]

$x_{k+1} = f(x_k)$

$s(1-s)\|x_k - x_{k+1} \|_{s^2} \leqslant \|x_k - x_{k+1}\|_s - \|x_{k+1} - x_{k+2}\|_s$

Суммируем

$s(1-s)\sum \|x_k - x_{k+1} \|_{s^2} \leqslant \|x_0 - x_1\|_s$

-- Вс янв 05, 2014 01:00:17 --

Да тут от множителя ничего не зависит. Нужно что-то более "хитрое".

[Oleg Zubelevich]

да, да, увидел