Интервалы без делителей

[Побережный Александр]

Уважаемые софорумники, занимаясь факторизацией чисел получил некоторые результаты, которыми и хочу поделиться.
Первое, из чего я исходил, что любое число представимо в виде $X=a\prod\limits_{i=1}^n p_i+b$,
где $n$ такое, что $X<\prod\limits_{i=1}^{n+1} p_i$, $1\le a<p_{n+1}$, $0\le b<\prod\limits_{i=1}^n p_i$, $p_i$ - $i$-ое простое число.
Пусть $N$ - это натуральное нечетное число, имеющее только делители $p$ и $q$, делители $1$ и $N$ не рассматриваем.

$N=pq$.
Каждое из чисел можно представить: $p=a_1\prod\limits_{i=1}^{n_1} p_i+b_1$, $q=a_2\prod\limits_{i=1}^{n_2} p_i+b_2$ и $N=a_3\prod\limits_{i=1}^{n_3} p_i+b_3$.
$N=pq=(a_1\prod\limits_{i=1}^{n_1} p_i+b_1)(a_2\prod\limits_{i=1}^{n_2} p_i+b_2)= a_1a_2\prod\limits_{i=1}^{n_1} p_i\prod\limits_{i=1}^{n_2} p_i+a_1b_2\prod\limits_{i=1}^{n_1} p_i+a_2b_1\prod\limits_{i=1}^{n_2} p_i+b_1b_2<\prod\limits_{i=1}^{n_3+1} p_i$
Следовательно, $\prod\limits_{i=1}^{n_1} p_i\prod\limits_{i=1}^{n_2} p_i<N<\prod\limits_{i=1}^{n_3+1} p_i$, причем $n_1\le n_2<n_3$.
Меньшему делителю $p$ соответствует праймориал $\prod\limits_{i=1}^{n_1} p_i$.
Большему делителю $q$ соответствует праймориал $\prod\limits_{i=1}^{n_2} p_i$.
В задаче факторизации делители неизвестны, значит надо попробовать подобрать комбинации праймориалов, соответствующих делителям.
Каждому праймориалу, соответствующему делителю $p$, соответствует праймориал для делителя $q$. Но праймориалов для делителя $q$ меньше, чем праймориалов для делителя p. Следовательно, существует праймориал делителя $p$, которому нельзя подобрать соответствующий праймориал делителя $q$.
Это означает, что существует интервал, в котором гарантированно отсутствует делитель $p$. Естественно, этот интервал можно конкретно указать.

С удовольствием выслушаю замечания и пожелания к моим рассуждениям.

[Cash]

Можно без всяких изысков указать интервал $(\frac N 2, N)$. Ваш интервал лучше? Покажите на примере. Давайте возьмем какое-нибудь "известное" число, например, $2^{32}+1$
Практической пользы не вижу, но может быть поразвлечься удастся.

[Побережный Александр]

Cash в сообщении #810216 писал(а):

например, $2^{32}+1$

Пусть $N=2^{32}+1=4294967297$. Мы точно знает, что число составное.
Чтобы записать это число через праймориалы, проверяем делимость на начальные простые.
$N=19(\#23)[phone]$.
$[\sqrt{N}]=65536=2(\#13)+5476$.
Значит надо подобрать парный праймориал к $\#19, \#17, \#13$.
Получаются пары праймориалов $(\#7)(\#19); (\#11)(\#17); (\#13)(\#13)$.
Следовательно, все простые меньше $\#7-1=209$ не будут делителями числа $N$.
$N=2^{32}+1=4294967297=641\cdot 6700417$

[Побережный Александр]

Побережный Александр в сообщении #809347 писал(а):

Первое, из чего я исходил, что любое число представимо в виде $X=a\prod\limits_{i=1}^n p_i+b$,
где $n$ такое, что $X<\prod\limits_{i=1}^{n+1} p_i$, $1\le a<p_{n+1}$, $0\le b<\prod\limits_{i=1}^n p_i$, $p_i$ - $i$-ое простое число.

Побережный Александр в сообщении #809347 писал(а):

$N=pq$.
Каждое из чисел можно представить: $p=a_1\prod\limits_{i=1}^{n_1} p_i+b_1$, $q=a_2\prod\limits_{i=1}^{n_2} p_i+b_2$ и $N=a_3\prod\limits_{i=1}^{n_3} p_i+b_3$

Можно продолжить рассуждения дальше.
Будем исходить, что корректные пары праймориалов найдены и фиксированы. Тогда
$(a_1\prod\limits_{i=1}^{n_1} p_i)(a_2\prod\limits_{i=1}^{n_2} p_i)< N< ((a_1+1)\prod\limits_{i=1}^{n_1} p_i)((a_2+1)\prod\limits_{i=1}^{n_2} p_i)$

Если записать по другому, то получим необходимое условие присутствия делителя на данном интервале.

$a_1a_2<\frac{N}{(\prod\limits_{i=1}^{n_1} p_i)(\prod\limits_{i=1}^{n_2} p_i)}<(a_1+1)(a_2+1)$

Коэффициенты $a_1$ и $a_2 $ легко перебрать и отбросить варианты, не удовлетворяющие необходимому условию.
Таким образом, мы еще больше сужаем область поиска делителя числа.

[Cash]

Проблема

Побережный Александр в сообщении #810536 писал(а):

Следовательно, все простые меньше $\#7-1=209$ не будут делителями числа $N$.

Этот вывод не понятен.
Заминка в том, что чисел вида $N=pq$, очень мало. Да еще вы и не знаете об этом заранее - представимо выбранное число в таком виде или нет. А потому применять ваш метод некорректно.

[Побережный Александр]

Уважаемый Cash, главное условие, что $N$ - составное.
Следовательно, $N=pq$, где $p$ - наименьший делитель не равный 1, соответственно $q=\frac{N}{p}$.
Наименьшим делителем может быть только простое число.
Естественно, $q$ может быть как простым, так и составным, но все делители $q$ заведомо не меньше $p$.

Cash в сообщении #811209 писал(а):

Проблема

Побережный Александр в сообщении #810536 писал(а):

Следовательно, все простые меньше $\#7-1=209$ не будут делителями числа $N$.

Этот вывод не понятен.

Что вас смутило в выводе? Я исходил из того, что пары праймориалов определяются однозначно. Или это надо доказать еще?