Невыразимость интеграла в элементарных

[Urnwestek]

Существует ли такой конечный набор функций $X$, такой что первообразная композиций любых элементарных функций и функций из этого набора (на промежутке непрерывности) выражается снова через композиции элементарные функции и функции из этого набора? Эдакое «интегральное замыкание» множества элементарных функций.
Речь идёт только про функции из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$.

[Sonic86]

Ну многочлены, например (для этого множества $X$ легко указать)

[Urnwestek]

Не, я имею в виду, вот есть такой набор волшебных функций $(f,g,h)$, что раньше интеграл от $\frac{\sin x}{x}$ не выражался в элементарных, а теперь он выражается как-нибудь типа $f(\cos(x))+g+C$ и так для любой элементарной. Но вместе с этим «новых» невыражаемых функций не появилось, т.е. интеграл, например $f(g(\cos(x))) e^{h(x)}$ по прежнему выражается через элементарные и $(f,g,h)$. Я слышал что-то о гипергеометрических, но не знаю, насколько они к теме относятся.
Под элементарными я имею в виду тригонометрию, алгебраические операции, возведение в степень, экспоненту, логарифм, константы и модуль.

[Sonic86]

Ааа, тогда вряд ли $X$ существует, но я Вам не смогу это доказать.
Ну, например, какое-нибудь семейство функций $\int \exp (x^n)dx$ как-нибудь алгебраически или еще как-то скорее всего совершенно независимо.

[Urnwestek]

Жаль. А вообще интересно, можно ли как-нибудь просто по семейству функций, непрерывных на промежутке узнавать, замкнуто ли оно относительно взятия первообразной? Кстати, вопрос попроще, а как вообще доказывается невыразимость в элементарных? Я слышал про алгоритм Риша, а более «элементарное» что ли доказательство где-нибудь есть?

[nnosipov]

.

[Urnwestek]

Sonic86 в сообщении #808998 писал(а):

Ну многочлены, например (для этого множества $X$ легко указать)

Да, кстати, я понял к чему вы приводили этот пример. Рассмотрим множество $L$ всех непрерывных на промежутке функций. Определим отношение эквивалентности $\sim$ так: $f \sim g$ титтк существует многочлен $P(x)$ такой что $f + P(x) = g$. Рассмотрим множество $H = L/ \sim$ — функций «с точностью до многочлена». Очевидно на элементе $[f]$ этого множества $H$ можно определить операцию интегрирования как $\int [f] = [\int f]$ и что она будет определена корректно. Назовём подмножество $X$ множества $H$ замкнутым относительно интегрирования, если для любого $[f] \in X$ верно что $\int [f] \in X$. Вопрос: существуют ли замкнутые относительно интегрирования множества, отличные от $\{[0]\}$ и $H$ (нетривиальные)? Расписал максимально подробно, чтобы не было недопонимания от фраз типа «рассмотрим функцию с точностью до многочлена». (:

-- 03.01.2014, 12:51 --

Именно такую конструкцию (множество функций с точностью до многочлена) я выбрал, потому что мне почему-то захотелось, чтобы сохранялось свойство «если $F(x)$ — n-ая первообразная $f(x)$, то $\int \int \dots \int f(x) = F(x)$», хотя, конечно же вопрос можно поставить и проще.

[Xaositect]

Ну, сходу можно назвать $\{[e^x]\}$, $\{[ae^{cx}]\}$, $\{[p(x)e^{cx}]\}$, где $p$ - произвольный многочлен.

[Urnwestek]

Xaositect в сообщении #809087 писал(а):

Ну, сходу можно назвать $\{[e^x]\}$, $\{[ae^{cx}]\}$, $\{[p(x)e^{cx}]\}$, где $p$ - произвольный многочлен.

Точно же! Слышал ведь от кого-то когда-то, что интеграл от квазимногочлена — квазимногочлен. А если теперь вместо «существует ли нетривиальное замкнутое подмножество» написать «перечислить все замкнутые подмножества» или хотя бы «какова мощность множества всех замкнутых подмножеств»? (:

$\{[c \sin(x)], [c \cos(x)]\}, \{[\pm \sin(x)], [\pm \cos(x)]\}$ ещё

-- 03.01.2014, 13:19 --

Кстати, ещё наверное было бы логично задавать «с точностью до умножения на константу» ибо константу из под интеграла-то выносить можно, не содержательно: т.е. $f \sim g$ титтк существует такая $c \neq 0$ и многочлен $P(x)$, что $c f(x) + P(x) = g(x)$. В дальнейшем прошу понимать задачу именно так (:

[Xaositect]

Ну мощность, очевидно, континуум.

UPD. Не континуум, конечно, а гиперконтинуум. $\{ae^{cx}|a\in\mathbb{R}, c\in S\subset \mathbb{R}\}$

[Urnwestek]

А, ну да, вы приводили $\{[ae^{cx}]\}$ где $c$ пробегает по всем возможным. Просто я читал это как «$c$ пробегает по всем возможным в одном множестве» а не «каждое $c$ лежит в своём множестве».