Аксиома индукции

[Xvovan3]

Аксиома индукции и принцип мат. индукции - это ведь одно и то же?

[timots]

Нет аксиом индукции. Есть законы, которые мы сами для себя создали, и которым следуем.

[Xvovan3]

Странно, а лектор мех-мата МГУ попросил меня её сформулировать. Видимо не знает он, что

timots в сообщении #808782 писал(а):

Нет аксиом индукции. Есть законы, которые мы сами для себя создали, и которым следуем.

[provincialka]

Аксиома - это часть аксиоматической системы, в данном случае - Аксиом Пеано для натуральных чисел. Это одна из возможных систем аксиом. В других системах это утверждение придется доказывать.

[Someone]

Xvovan3 в сообщении #808777 писал(а):

Аксиома индукции и принцип мат. индукции - это ведь одно и то же?

Одно и то же.

[Xvovan3]

provincialka в сообщении #808788 писал(а):

provincialka

я и не спорю насчет этого, я просто спрашивал, является ли принцип мат индукции аксиомой индукции, вот и всё.

Someone в сообщении #808789 писал(а):

Someone

спасибо)

[provincialka]

Xvovan3, вот я вам и ответила, все зависит от выбранной системы аксиом. В математике различие между аксиомами и теоремами не строгое: их часто можно поменять местами. Например, вспомните историю Пятого постулата, в каких только формах он не возникал в изложении геометрии.

[timots]

Xvovan3
Лектор наверно имел ввиду логические понятия. Такие, как И, ИЛИ…
Мой преподаватель всегда корежился, когда такие понятия называли аксиомами

[provincialka]

timots, вы хоть в гугл посмотрите. На некотором этапе математики захотели аксиоматически построить арифметику, в частности, натуральный ряд (по примеру геометрии). Вот и пришлось "интуитивные" представления записывать в виде аксиом и следующих из них теорем. А "и", "или" - это, конечно, не аксиомы, а операции. Они не могут быть ни аксиомами, ни теоремами, так как не являются высказываниями (утверждениями). То есть про них нельзя сказать, ложны они или истинны.

[timots]

provincialka
Кто Вам сказал, что индукция строится по типу арифметики или геометрии? Назовите аксиому свойств индукции.
Э. Мендельсон «Введение в математическую логику»

[provincialka]

timots в сообщении #808832 писал(а):

Кто Вам сказал, что индукция строится по типу арифметики или геометрии?

Вот такой глупости ни мне никто не говорил, ни я никому не говорила. Строится формальная теория натуральных чисел, одной из аксиом которых является аксиома индукции. Вас что, в гугле забанили? Смотрите здесь, аксиома 5.

[Deggial]

timots, убедительная просьба не заниматься захватом темы и не морочить ТС голову.

[epros]

В целом Someone ответил, я хотел только уточнить вопрос: Преподаватель просил у Вас аксиому индукции для конкретного свойства, просил рассказать о схеме индукции, коя имеет место в арифметике первого порядка, или же хотел услышать формулировку аксиомы индукции второго порядка, коя начинается со слов: "для любого свойства ..."?

[Xvovan3]

Epros, словами

Xvovan3 в сообщении #808785 писал(а):

попросил меня её сформулировать

я имел в виду один экзаменационных вопросов, которые подготовил сей преподаватель и ответы на которые готовлю я)) А в вопросе просится лишь сама формулировка. В учебнике формулировки под таким названием я не нашел, но нашел формулировку принципа мат. индукции и решил убедится, что это одно и то же)

[epros]

Понятно. Стало быть, расплывчатость вопроса подразумевает возможность расплывчатости ответа. Под "принципом " мат. индукции, очевидно, можно подразумевать всё вышеперечисленное, плюс ещё, например, правило вывода.