Может быть, есть ещё какие-нибудь красивые параметризации гиперболического параболоида, обладающие такой замечательной особенностью (

и

не зависят от одной из координат)?
Думаю, нет.
1. Рассмотрим уравнение Киллинга

. В компонентах это

Пусть все компоненты метрического тензора

не зависят от координаты

, то есть

. Тогда поле

удовлетворяет уравнению Киллинга. И, стало быть, на нашем двумерном многообразии с заданной метрикой существует
векторное поле Киллинга, которое
Цитата:
задает непрерывное однопараметрическое семейство движений многообразия, то есть преобразований, относительно которых метрический тензор остается инвариантным.
Что было ясно и без уравнения Киллинга, из самого факта независимости — просто я хотел поставить вопрос на твердую основу.
2. Вычислим гауссову кривизну

нашего гиперболического параболоида. В задачнике Мищенко, Соловьева, Фоменко есть задача 6.8: найти

для поверхности в

, заданной уравнением

. Ответ:

В нашем случае

это дает

.
3. Гауссова кривизна определяется метрикой поверхности. Следовательно, гауссова кривизна инвариантна относительно преобразований, указанных в п.1. Следовательно,

постоянна вдоль интегральной линии поля Киллинга. Но вычисленная в п.2

зависит только от

. Значит, проекция предполагаемой интегральной линии поля Киллинга на плоскость

есть окружность

.
4. Однако при движении некоторой точки

по такой кривой (проекция которой на

есть окружность

) не сохраняется расстояние от

до

(в метрике поверхности). Это видно из того, что при

точку

и

соединяет прямая, лежащая на поверхности и в плоскости

, а при

— не прямая. Следовательно, единственное непрерывное преобразование, которое было кандидатом на изометричность, оказывается не изометрическим. Значит, и исходное предположение неверно. А поле Киллинга, увы, может быть лишь нулевым.