Класс функций, имеющих первообразную

[Urnwestek]

Чаще всего техника символьного интегрирования (отыскания первообразной) применяется лишь на промежутках непрерывности, однако всем известно, что из непрерывности функции ещё не следует её дифференцируемость, например функция:

$$ f=\begin{cases} $2x \sin(\frac{1}{x}) - \cos(\frac{1}{x}),&\text{если $x \neq 0$;}\\ 0,&\text{если $x=0$;}\\ \end{cases} $$

Разрывна в нуле, однако имеет первообразную $x^2 \sin (\frac{1}{x})$ (естественно доопределенную в нуле по непрерывности). Так вот, есть ли какие-нибудь необходимые/достаточные признаки того, что данная разрывная функция имеет/не имеет первообразной? И вообще, обозначается ли как-нибудь класс функций имеющих первообразную на данном отрезке? (очевидно, что такой класс не совпадает с классом функций, интегрируемых по Риману, более того, они даже не вкладываются друг в друга).

[Nemiroff]

Необходимо, чтобы теорема о среднем теорема о промежуточном значении выполнялась.

[Urnwestek]

Теорема о среднем, та, которая из под определенного интеграла позволяет куски выносить? Я пока не понял, почему это так; ведь вроде как есть неограниченные на отрезке разрывные функции, имеющие первообразную и не имеющие интеграла Римана (даже несобственного).

[Nemiroff]

Не, я неправильно выразился — о среднем промежуточном значении. Если функция на концах отрезка принимает какие-то значения, то для любого значения между ними найдется точка на отрезке с именно таким значением функции в ней.

[Urnwestek]

Ну да, ещё разрывы не должны быть первого рода.

-- 31.12.2013, 15:22 --

Хотя да, моё условие является необходимым для вашего, так что у вас условие круче. (:

[Null]

$f$ - измеримая функция.

[Urnwestek]

Это необходимое или достаточное? Я как понял, это как-то связано с интегрированием по Лебегу... Вот ещё вопрос, существует ли функция с множеством точек разрыва меры нуль и удовлетворяющая условию Nemiroff, но не имеющая первообразной?

[Null]

ну функция

$$ f(x)=\begin{cases} $0,&\text{если $x \le 0$ ;}\\ x,&\text{$x\in \mathbb{Q},0<x<1$;}\\ 1,&\text{в противном случае;}\\ \end{cases} $$

[Urnwestek]

Что-то я не понял, не существует же такой $0 <\zeta < \frac{1}{2}$, что $f(0) = 0 < f(\zeta) = \frac{1}{\pi} < \frac{1}{2} = f(\frac{1}{2}) $

[Null]

$(x\sin{|\ln(x)|})'=x\sin|\ln (x)|+\cos|\ln(x)|$ при $0<x<0.5$ и $0$ при $x\le0$ (при $x\ge0.5$ продолжить по непрерывности)

[Urnwestek]

Мне пока непонятно, почему она должна не иметь первообразной...

[Null]

Ну она получается склейкой $C_1,x<0$ и $x\sin|\ln(x)|+С_2,x>0$, Значит $C_1=C_2$ Но то что получилось в 0 не дифференцируемо.

[Urnwestek]

Точно! Понятно, да.
Но всё же интересно, существует ли какое-нибудь красивое необходимое и достаточное условие того, что разрывная функция на промежутке имеет первообразную, настолько же красивое, как и критерий Лебега интегрируемости по Риману.
Кстати мне непонятен чисто методический вопрос: почему не введут специальные значки для классов «дифференцируемых n раз функций», «имеющих первообразную функций», «интегрируемых несобственно по Риману функций», «имеющих собственное значение (V.P.) по Риману функций» по аналогии с «непрерывно дифференцируемыми n раз», «бесконечно дифференцируемыми», «интегрируемыми по Риману» и «аналитическими». Буковок не хватает что ли? (: