УМФ правильно ли я решаю?

[netang]

Дано:
$u_{tt}=a^{2}u_{xx}$
$u_{x}(t, 0) = u(t, 1)=0$
$u(0,x)=1-x^2, u_{t}(0,x)=0$
Будем искать решение в виде: $u(x, t)=X(x)T(t)$
$X(x)T''(t)=a^{2}X''(x)T(t)$

$\frac{T''(x)}{a^{2}T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=\lambda=\operatorname{const}$

$X'' - \lambda X = 0$
$T'' - \lambda a^{2}T = 0$

$u_{x}(t, 0)=X'(0)T(t)=0$
$u(t, 1)=X(1)T(t)=0 \Rightarrow X'(0)=X(1)=0$
$X = C_{1}\cos{\mu x}+C_{2}\sin{\mu x}$
$X' = C_{2}\mu \cos{\mu x}-C_{1}\mu \sin{\mu x}$
$X'(0)=C_{2}\mu = 0 \Rightarrow C_{2} = 0$
$X(1)=C_{1}\cos{\mu} = 0$
Ищем нетривиальное решение:
$C_{1} \ne 0 \Rightarrow \cos(\mu) = 0 \Rightarrow \mu = \frac{n \pi}{2}$
$X_{n}(x)=\cos(\frac{n \pi x}{2})$
$T_{n}(t) = A_{n}\cos(\frac{n \pi a}{2} t)+ B_{n}\sin(\frac{n \pi a}{2} t)$
$\sum{u_{n}(t, x)=\sum{ (A_{n}\cos(\frac{n \pi a}{2} t)+ B_{n}\sin(\frac{n \pi a}{2} t)}) }\cos(\frac{n \pi x}{2})$
$A_{n}=2\int\limits_0^1 (1-x^2) \cos(\frac{n \pi x}{2}) dx$
$B_{n}=\frac{4}{n \pi a}\int\limits_0^1 0 \cos(\frac{n \pi x}{2}) dx$

[ewert]

netang в сообщении #807464 писал(а):

$\cos(\mu) = 0 \Rightarrow \mu = \frac{n \pi}{2}$

Да?

[netang]

Ой, $\mu = \frac{\pi}{2}+n \pi, n = 0, 1, 2...$
А ход решения правильный?

[ewert]

Да.