Вопрос по нормальным группам

[Felt]

Есть теорема: подгруппа $H$ группы $G$ нормальная тогда и только тогда, когда является ядром какого-либо гомоморфизма.
Раньше не возникало вопросов в этом моменте, но теперь, видимо, устал и не могу догнать:
разве не каждая группа $R$, необязательно нормальная, является ядром гомоморфизма $h(g)=gR$?
Ведь $h(g)=R$ тогда и только тогда, когда $g \in R$? Иначе будет какая-то группа, отличная от $R$. Здесь вхожу в противоречие с самим собой, потому что, как известно, ядро любого гомоморфизма - нормальная подгруппа, ибо $h(aba^{-1})=h(a) \cdot h(b) \cdot h(a^{-1})=h(a) \cdot h(a)^{-1}=1$, где я предполагал, что $b \in \operatorname{Ker}(h)$

Допустим, что $R$ не равен ядру гомоморфизма $h$, тогда в любом случае является его подгруппой, а любая подгруппа ядра - нормальная.

[Felt]

Не надо отвечать, разобрался сам.