Найти д.у. для заданной функции.

[Vince Diesel]

ivvan в сообщении #816868 писал(а):

Если это про моё уравнение

Да. Проверил до $n=6$, сходится.

[sergei1961]

Здорово. Пол-жизни думал, как обобщить уравнение с "производной" Шварца для дробнолинейных функций на более высокие порядки. Оказывается, это всё-таки возможно сделать явно!

Неотрицательность оператора Шварца - это одно из фундаментальных условий при исследовании простейших динамических систем, например, чтобы выполнялись теоремы Шарковского. Интересно, можно более сложные условия использовать в этом направлении?

[Null]

Доказать необходимость достаточно легко. Пусть $Q(x)y(x)=P(x)$.
получим
$C_{(n+1)}^0 y^{(n+1)}Q+C_{(n+1)}^1 y^{n}Q'+\dots+C_{(n+1)}^n y'Q^{(n)}=0$ - продифференцировали $n+1$ раз
$C_{(n+2)}^0 y^{(n+2)}Q+C_{(n+2)}^1 y^{n+1}Q'+\dots+C_{(n+2)}^n y''Q^{(n)}=0$ - продифференцировали $n+2$ раза
$\vdots$
$C_{(n+n+1)}^0 y^{(n+n+1)}Q+C_{(n+n)}^1 y^{n+n}Q'+\dots+C_{(n+n+1)}^n y^{(n+1)}Q^{(n)}=0$- продифференцировали $2n+1$ раз.
Избавимся от производных $Q$.

$$\begin{vmatrix} y^{(n+1)} & (n+1)y^{(n)} & \cdots & (n+1)y' \\ y^{(n+2)} & (n+2)y^{(n+1)} & \cdots & \frac{(n+1)(n+2)}{2}y'' \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y^{(2n+1)} & (2n+1)y^{(2n)} & \cdots & C^n_{2n+1}y^{(n+1)} \end{vmatrix}Q(x)=0$$

Значит этот определитель равен 0.