Проинтегрировать выражение

[hxxxrz]

$\mathop y\limits^{..} = - \frac{k}{m}\mathop y\limits^.$

$\mathop y\limits^. = {v_0}\cos ({\alpha _0}){e^{ - \frac{k}{m}t}}$

Здесь какой-то дифур считается? Иначе откуда берется экспонента?

[provincialka]

Вам виднее. Зависит от того, какие слова стоят (подразумеваются) между двумя уравнениями. Судя по тому, что число точек над $y$ уменьшилось, таки да, дифур проинтегрировали.

[svv]

Это похоже на уравнение движения материальной точки под действием силы сопротивления среды, пропорциональной скорости:
$\mathbf F=m\mathbf a=-k\mathbf v$

$\ddot{\mathbf r}=-\frac k m \dot{\mathbf r}$

$m$ — масса точки, $k$ — коэффициент сопротивления среды.
$v_0$ — модуль начальной скорости, $\alpha_0$ — начальный угол.

[hxxxrz]

svv в сообщении #806447 писал(а):

Это похоже на уравнение движения материальной точки под действием силы сопротивления среды, пропорциональной скорости:
$\mathbf F=m\mathbf a=-k\mathbf v$

$\ddot{\mathbf r}=-\frac k m \dot{\mathbf r}$

$m$ — масса точки, $k$ — коэффициент сопротивления среды.
$v_0$ — модуль начальной скорости, $\alpha_0$ — начальный угол.

это так, но я не понимаю что сделали с первой функцией, чтобы получить экспоненту во второй. Решили дифур, а потом проинтегрировали? или как

[provincialka]

Что значит "решили, а потом проинтегрировали"? Решение диф. уравнения и называют "интегрированием". Только исходное уравнение решили не до конца, просто понизили порядок.

[svv]

$\ddot y=-\frac k m \dot y$
Напрашивается замена $\dot y=v_y$ (дадим новой переменной физичное обозначение).
Тогда $\dot v_y=-\frac k m v_y$
Решаем, получаем $v_y(t)=Ce^{-\frac k m t}$
Используем начальное условие для определения $C$ и при желании возвращаемся к обозначению с точкой.

[hxxxrz]

Я вот еще не понимаю по дифурам:

$\mathop {{V_z}}\limits^{..} *\frac{{mc}}{{Be}} + {V_z}*\frac{{Be}}{{mc}} = - \frac{{Ee}}{m}$

${\lambda ^2}*\frac{{mc}}{{Be}} + \frac{{Be}}{{mc}} = 0$

$\lambda = \pm i\frac{{Be}}{{mc}}$

${V_z} = {C_1}\cos (\frac{{Be}}{{mc}}t) + {C_2}\sin (\frac{{Be}}{{mc}}t) - \frac{{Ee}}{m}$

Это правильно? И это называется общим решением диф. уравнения?
Если правильно, откуда в последней строчке $- \frac{{Ee}}{m}$ ?

[provincialka]

По смыслу последнее слагаемое должно быть частным решением (неоднородного уравнения). Но вроде не подходит. Вы константы не перепутали?
Кстати, об оформлении. У вас $Be, Ee$ - произведения или величины с индексом? В последнем случае их лучше писать так: $B_e, E_e$. И не пишите звездочку в качестве знака произведения, лучше \cdot или вообще ничего.

[hxxxrz]

provincialka в сообщении #806703 писал(а):

По смыслу последнее слагаемое должно быть частным решением (неоднородного уравнения). Но вроде не подходит. Вы константы не перепутали?
Кстати, об оформлении. У вас $Be, Ee$ - произведения или величины с индексом? В последнем случае их лучше писать так: $B_e, E_e$. И не пишите звездочку в качестве знака произведения, лучше \cdot или вообще ничего.

Это произведения,
А частное решение для физической задачи нужно подобрать исходя из начальных условий?

[provincialka]

Частное решение дифференциального уравнения - это любое конкретное его решение. Но (константа) $-\frac{Ee}{m}$ не является решением.