2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Вопрос, связанный с методом Гаусса
Сообщение26.12.2013, 15:46 
Хотелось бы попросить помощи в связи с возникшей проблемой. А именно: как при помощи метода Гаусса можно решить систему $m$ уравнений с $n$ переменными, в которой $m$ не равно $n$?
Сам по себе метод понятен, если применять его для решения систем, преобразуемых в квадратные (если не учитывать столбец свободных членов) матрицы. В иных случаях возникают трудности. Последовательно исключая переменные из каждой строки, получаю в итоге уравнение более чем с одной переменной.
Подозреваю, что искомый принцип решения достаточно элементарен. Был бы весьма признателен за какой-либо намёк относительно данного принципа.

 
 
 
 Re: Вопрос, связанный с методом Гаусса
Сообщение26.12.2013, 16:10 
Аватара пользователя
А что Вы хотите в итоге получить? Объект какой природы? Вот, например, уравнение более чем с одной переменной: $x_1+x_2=1$. Что должно получиться? $(1;0)$?

 
 
 
 Re: Вопрос, связанный с методом Гаусса
Сообщение26.12.2013, 16:37 
Хотелось бы определить значения всех переменных системы. Соответственно, как я понимаю, сначала значения переменных злополучного $m$ - го уравнения, которые затем можно поставить в другие уравнения системы.

 
 
 
 Re: Вопрос, связанный с методом Гаусса
Сообщение26.12.2013, 16:39 
BENEDIKT
В случае если система неопределена (уравнений меньше, чем неизвестных), то часть переменных принимается за параметры.

 
 
 
 Re: Вопрос, связанный с методом Гаусса
Сообщение26.12.2013, 17:01 
Аватара пользователя
BENEDIKT в сообщении #806438 писал(а):
злополучного $m$ - го уравнения

Оно не виновато. Просто по ходу решения предыдущие уравнения проблему нехватки информации сваливают на него, а ему за всех приходится отвечать: оно же крайнее.

 
 
 
 Re: Вопрос, связанный с методом Гаусса
Сообщение26.12.2013, 17:40 
Аватара пользователя
ИСН в сообщении #806422 писал(а):
Вот, например, уравнение более чем с одной переменной: $x_1+x_2=1$.

BENEDIKT в сообщении #806438 писал(а):
Хотелось бы определить значения всех переменных системы.

ИСН в сообщении #806422 писал(а):
Что должно получиться?

Цитата:
Что?

 
 
 
 Re: Вопрос, связанный с методом Гаусса
Сообщение26.12.2013, 20:03 
BENEDIKT в сообщении #806438 писал(а):
Хотелось бы определить значения всех переменных системы...

Переменные у функции, тут неизвестные

 
 
 
 Re: Вопрос, связанный с методом Гаусса
Сообщение26.12.2013, 20:59 
Ms-dos4 в сообщении #806442 писал(а):
В случае если система неопределена (уравнений меньше, чем неизвестных), то часть переменных принимается за параметры.

Т. е. единственного решения у такой системы по определению быть не может?
svv в сообщении #806451 писал(а):
Просто по ходу решения предыдущие уравнения проблему нехватки информации сваливают на него, а ему за всех приходится отвечать: оно же крайнее.

Увы, в моём учебнике представлена только такая методика: последовательное исключение неизвестных...
ИСН в сообщении #806422 писал(а):
Что должно получиться?

Пожалуй, то, что Вы указали в первый раз:
ИСН в сообщении #806422 писал(а):
Вот, например, уравнение более чем с одной переменной: $x_1+x_2=1$. Что должно получиться? $(1;0)$?

Судя по всему, да.
mihailm в сообщении #806567 писал(а):
Переменные у функции, тут неизвестные

Пардон за терминологическую вольность. Теперь приму к сведению.

 
 
 
 Re: Вопрос, связанный с методом Гаусса
Сообщение26.12.2013, 21:01 
Аватара пользователя
Хорошо, $(1;0)$. А почему не $(0;1)$? Кто из них правильнее?

 
 
 
 Re: Вопрос, связанный с методом Гаусса
Сообщение26.12.2013, 21:02 
Аватара пользователя
BENEDIKT
А вы не хотите просто прочитать какой-нибудь учебник по ЛА? Это описано везде ведь :)

BENEDIKT в сообщении #806594 писал(а):
Судя по всему, да.


А почему не (0; 1) ?

 
 
 
 Re: Вопрос, связанный с методом Гаусса
Сообщение26.12.2013, 21:02 
BENEDIKT
Нет конечно, если система не определена, единственного решения быть не может. Последовательно исключайте переменные, из них по числу уравнений (пусть будет n) выбираются главные переменные, остальные являются параметрами. В приведённом примере $\[{x_1} + {x_2} = 1\]$, пусть $\[{x_2} = \alpha  \in ( - \infty , + \infty )\]$, тогда $\[{x_1} = 1 - \alpha \]$ и решение системы имеет вид $\[(1 - \alpha ,\alpha )\]$

 
 
 
 Re: Вопрос, связанный с методом Гаусса
Сообщение26.12.2013, 21:05 
BENEDIKT в сообщении #806417 писал(а):
А именно: как при помощи метода Гаусса можно решить систему $m$ уравнений с $n$ переменными, в которой $m$ не равно $n$?

Ровно так же, как и когда равно: стараться получить в левой части расширенной матрицы -- единичную (ровно, т.к. даже и в случае равенства некоторые строчки могут исчезнуть). И когда Вы этого достигнете (а рано или поздно, следуя аккуратно шаблону, Вы этого непременно достигнете) -- все переменные, отвечающие столбцам расширенной матрицы правее той единичной (за исключением столбца правых частей, естественно, который никаким переменным не отвечает) -- все эти переменные можно брать произвольными, все же предыдущие через них однозначно выразятся. Это ровно и будет общее решение системы.

(ну с точностью до одного очевидного ньюанеца, конечно)

 
 
 
 Re: Вопрос, связанный с методом Гаусса
Сообщение26.12.2013, 22:49 
ИСН в сообщении #806596 писал(а):
Хорошо, $(1;0)$. А почему не $(0;1)$? Кто из них правильнее?

Трудно сказать. Собственно, всё и началось с того, что решение уравнения с более чем одной неизвестной породило сложности.
SpBTimes в сообщении #806597 писал(а):
А вы не хотите просто прочитать какой-нибудь учебник по ЛА? Это описано везде ведь

Учебник имеется, но найти в нём ответ на данный вопрос не получилось.

ewert, Ms-dos4
Благодарю. Попробую решить.

 
 
 
 Re: Вопрос, связанный с методом Гаусса
Сообщение26.12.2013, 23:10 
BENEDIKT в сообщении #806647 писал(а):
Учебник имеется, но найти в нём ответ на данный вопрос не получилось.

Если в учебнике не сказано, что неопределенная система имеет бесконечно много решений, которые образуют линейное подпространство... Хм, а что это за учебник-то?

 
 
 
 Re: Вопрос, связанный с методом Гаусса
Сообщение26.12.2013, 23:14 
Joker_vD в сообщении #806658 писал(а):
Если в учебнике не сказано, что неопределенная система имеет бесконечно много решений, которые образуют линейное подпространство... Хм, а что это за учебник-то?

А это, видимо, учебник, который сознаёт, что не буквально всегда это так.

 
 
 [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group