2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Конечные поля
Сообщение24.12.2013, 17:48 
Доброго времени суток. В общем я студент 2-го курса мехмата и курсовая у меня по конечным полям. И один из подпунктов это "Представление и построение элементов конечных полей". Я в курсе что возможны три подхода к представлению... Меня вот что интересует: что за матричный подход? как его построить??? В книге Лидла и Ниеррайтера всего лишь небольшой кусочек... А поподробнее может кто подсказать где найти?

 
 
 
 Re: Конечные поля
Сообщение24.12.2013, 19:21 
А что в нем непонятного? Берете неприводимый многочлен $f(x)$ и строите его сопровождающую матрицу $A$. Тогда $f(A) = 0$ и эту матрицу $A$ можно использовать как корень многочлена $f(x)$, порождающего поле.

 
 
 
 Re: Конечные поля
Сообщение25.12.2013, 17:06 
А большое количество литературы по этому вопросу где можно найти? Какие кто книги посоветовать может?

PS Я не могу понять как строиться сопровождающая матрица. Пожалуйста, объясните на конкретных примерах

 
 
 
 Re: Конечные поля
Сообщение25.12.2013, 17:48 
Ingvarr в сообщении #805968 писал(а):
А большое количество литературы по этому вопросу где можно найти? Какие кто книги посоветовать может?

PS Я не могу понять как строиться сопровождающая матрица. Пожалуйста, объясните на конкретных примерах
Насколько мне известно, именно книжка Лидла и Нидеррайтера - лучшее что есть по конечным поля. Все (включая матричное представление) излагается подробно, с примерами (см., примеры 2.53 и 2.54) комментариями и упражнениями.

Поэтому, если она Вас не устраивает, трудно Вам что-то посоветовать. В других книжках (по алгебре, комбинаторике, теории кодирования) конечным полям обычно отводится один-два параграфа. А тут целых два тома. Где же искать подробности, как не у Лилда с Нидеррайтером?

 
 
 
 Re: Конечные поля
Сообщение25.12.2013, 17:51 
VAL в сообщении #805998 писал(а):
Ingvarr в сообщении #805968 писал(а):
А большое количество литературы по этому вопросу где можно найти? Какие кто книги посоветовать может?

PS Я не могу понять как строиться сопровождающая матрица. Пожалуйста, объясните на конкретных примерах
Насколько мне известно, именно книжка Лидла и Нидеррайтера - лучшее что есть по конечным поля. Все (включая матричное представление) излагается подробно, с примерами (см., примеры 2.53 и 2.54) комментариями и упражнениями.

Поэтому, если она Вас не устраивает, трудно Вам что-то посоветовать. В других книжках (по алгебре, комбинаторике, теории кодирования) конечным полям обычно отводится один-два параграфа. А тут целых два тома. Где же искать подробности, как не у Лилда с Нидеррайтером?


Ну так-то да. Но для курсовой материала не сильно хватает... А за совет спасибо)

 
 
 
 Re: Конечные поля
Сообщение25.12.2013, 19:31 
Ingvarr в сообщении #805968 писал(а):
Я не могу понять как строиться сопровождающая матрица. Пожалуйста, объясните на конкретных примерах

Там же пример есть. Для многочлена $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_{n-1}x^{n-1} + x^n$ сопровождающей матрицей является матрица
$
A = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -a_0 \\
1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -a_1 \\
0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & -a_2 \\
0 & 0 & 1 & \ldots & 0 & -a_3 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & -a_{n-1}
\end{pmatrix}.
$
В последнем столбце матрицы выписываются коэффициенты многочлена с обратным знаком начиная с младшего.

Например, пусть $f(x) = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + x^4$ над полем $\mathbb{F}_5$Тогда сопровождающая матрица имеет вид
$
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 4 \\
1 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
$

 
 
 
 Re: Конечные поля
Сообщение25.12.2013, 20:04 
AV_77 в сообщении #806091 писал(а):
Ingvarr в сообщении #805968 писал(а):
Я не могу понять как строиться сопровождающая матрица. Пожалуйста, объясните на конкретных примерах

Там же пример есть. Для многочлена $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_{n-1}x^{n-1} + x^n$ сопровождающей матрицей является матрица
$
A = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -a_0 \\
1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -a_1 \\
0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & -a_2 \\
0 & 0 & 1 & \ldots & 0 & -a_3 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & -a_{n-1}
\end{pmatrix}.
$
В последнем столбце матрицы выписываются коэффициенты многочлена с обратным знаком начиная с младшего.

Например, пусть $f(x) = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + x^4$ над полем $\mathbb{F}_5$Тогда сопровождающая матрица имеет вид
$
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 4 \\
1 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
$


а почему тогда последний столбец во второй матрице перевернут?

 
 
 
 Re: Конечные поля
Сообщение25.12.2013, 20:10 
Ingvarr в сообщении #806101 писал(а):
а почему тогда последний столбец во второй матрице перевернут?

Куда он перевернут, вы в конечных полях умеете работать? В последнем столбце стоят:
- первая строка $-1 \equiv 4 \pmod{5}$,
- вторая строка $-2 \equiv 3 \pmod{5}$,
- третья строка $-3 \equiv 2 \pmod{5}$,
- четвертая строка $-4 \equiv 1 \pmod{5}$.

 
 
 
 Re: Конечные поля
Сообщение25.12.2013, 20:19 
AV_77 в сообщении #806105 писал(а):
Ingvarr в сообщении #806101 писал(а):
а почему тогда последний столбец во второй матрице перевернут?

Куда он перевернут, вы в конечных полях умеете работать? В последнем столбце стоят:
- первая строка $-1 \equiv 4 \pmod{5}$,
- вторая строка $-2 \equiv 3 \pmod{5}$,
- третья строка $-3 \equiv 2 \pmod{5}$,
- четвертая строка $-4 \equiv 1 \pmod{5}$.


Все понял, спасибо)

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group