Нужна ли именно абсолютная сходимость?

[rkrkrk]

Рассмотрим кольцо формальных степенных рядов над $\mathbb{R}$.
Существует ли в нем такое подкольцо $B$, в котором все степенные ряды условно сходятся, а подкольцо $A$ (абсолютно сходящихся рядов) является его собственным подкольцом?

[Otta]

Вы, может, как-то иначе хотели спросить?
Если все степенные ряды условно сходятся, то какие (из них) тогда будут сходиться абсолютно? Это раз.
Два - будет ли множество $ B$ кольцом?

Три - не худо бы, говоря о кольцах, определять операции на них.

[rkrkrk]

Операции в кольце формальных степенных рядов:
сложение ($c_i = a_i + b_i$) и умножение ($c_i = a_0b_i +...+a_ib_0$)

Я хочу понять, правда ли, что ряды которые "можно перемножать" и абсолютно сходящиеся ряды - это одно и тоже.

[Otta]

Нет, конечно. Перемножать по формальным законам ряды расходящиеся тоже никто не запрещал. Похоже, Вы что-то другое хотите понять, но не можете сказать что. Не страшно, если Вы попробуете это сделать на каком-то примере.

[rkrkrk]

Ответ: можно взять абсолютно сходящиеся ряды,
добавить к ним дзета от минус одного и натянуть на них
кольцо

-- 24.12.2013, 14:03 --

(в этом кольце все ряды будут условно сходиться - я это имел ввиду)

[Otta]

(Подозревая нехорошее) А какие ряды называются условно сходящимися?
Дзета от минус одного, кстати, равно минус двенадцати. Но при классическом суммировании Вы этого не получите. Дзета-функция определяется обычно с помощью ряда только при аргументах, вещественная часть которых больше 1.

[Oleg Zubelevich]

если ряд $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ сходится условно при каждом $x\in\mathbb{R}$ то он сходится абсолютно при каждом $x\in\mathbb{R}$ и даже равномерно на компактных подмножествах $\mathbb{R}$

[Otta]

Oleg Zubelevich, а на всей прямой-то зачем? Это для всякого открытого интервала сходимости верно.

PS У меня все же остается впечатление, что ТС говорит на самом деле о числовых рядах... нет?