Исследовать отображение на конформность

[myjobisgop]

Выяснить, является ли данное отображение (как отображение на расширенной комплексной плоскости) конформным в данной области.

1. $w = \operatorname{Ln} z,\ \lim_{t \to0}{w(1 + it)} = 2\pi i,\ \{0 < y < 1, x > 0\}$

2. $w = z^3,\ \{\frac{x^2}{2} + y^2 < 1,\ \frac{2x^2}{3} + 2y^2 > 1\}$

Даже не знаю с чего начать.

Во первых как выбрать нужную ветвь логарифма? Во вторых я думаю можно воспользоваться критерием конформности (Не равенство производной нулю), но не могу понять что говорят слова в условии "как отображение на расширенной комплексной плоскости"?

[Aritaborian]

(Про ТеХ)

Предел набирается так: \lim \limits _{t \to 0} f(t)

[myjobisgop]

Появились кое какие идеи для решения этих задач.

Начну с первой.

Для начала надо выделить однознаную ветвь логарифма:
$\lim \limits _{t \to 0} (\ln|1 + ti| + i(\operatorname{\arg} (1 + ti) + 2\pi k)) = 2\pi i k =2 \pi i$

Отсюда получаем, что $ k = 1$. Тогда в области $\mathbb{C}$ c разрезом по отрицательной вещественной оси, определена однозначная ветвь:
$\omega = \ln|z| + i(\operatorname{\arg} z + 2\pi)$

Найдем производную от этой ветви. Удобнее рассмотреть функцию как $=\omega = v(x,y) + i u(x,y)$. В нашем случае:
$\omega = \ln\sqrt{x^2 + y^2} + i(\arctg{\frac{y}{x}} + 2\pi)$

Тогда ее производная равна:
$\omega\ ' = \frac{x}{x^2 + y^2} - \frac{y}{x^2 + y^2} = \frac{x-y}{x^2 + y^2}$

Откуда видно, что $$\omega\ '(z)$ обращается в ноль в точке $z = 0$ и на прямой $x = y$, часть которой содержится в области $\{0 < y < 1, x > 0}$. Тогда получается, что в этой области функция не является конформной.

Верные рассуждения или я где-то обманул?