Формула Герона и 2 случай ВТФ для [math]$P =3$[/math]

[vasili]

1.Пусть натуральные числа $X,Y и Z$ являются примитивным решением уравнения $X^3 + Y^3-Z^3 = 0$, где
$(Z,3) = 3$.

2.Пусть квадрат площади треугольника построенного на числах $X,Y и Z$

с учетом формул Абеля

$S^2 =h_1^2X^2/4 = h_1^2U_1^2V_1^2/4$, где высота $h_1$ опущена на

сторону X и квадрат площади этого треугольника по формуле Герона

$S^2 = P(P-Z)(P-X)(P-Y)$, где

$P = (X + Y +Z)/2 = U(U^3/3 + V)/2$, тогда


$P-Z = (X + Y-Z)/2 = UU_1U_2/2$,

$P-X = (Y + Z-X)/2 = U_2(V_2 + U_2^2)/2$,

$P-Y = (X + Z-Y)/2 = U_1(V_1 + U_1^2)/2$.

4. Учитывая полученные соотношения и, умножая на 16 площадь треугольника, получим

$16S^2 = U^2U_1^2U_2^2(V + U^3/3)(V_2 + U_2^2)(V_1 + U_1^2)\engo(a)$ с

другой стороны

$16S^2 = 4h_1^2U_1^2V_1^2\engo (b)$.

Сравним полученные равенства по модулю $V_1$, так как из (b)

$16S^2\equiv 0\mod V_1$, то из (a) следует

$(V + U^3/3)(V_2 + U_2^2)\equiv0\mod V_1$.

5. Пусть

$V_1 =V_{01}V_{02}$

и пусть

$V + U^3/3\equiv0\mod V_{01}$, а после умножения этого сравнения на $U$

и принимая $ U^3/3 = X + Y$ имеем

$Z + X + Y\equiv Z + Y\equiv0\mod V_{01}$, а тогда

$Z^3 + Y^3\equiv0\mod V_{01}$.

6. Пусть

$V_2 + U_2^2\equiv0\mod V_{02}$, а после умножения этого сравнения на

$U_2$ и принимая $ U_2^3 = Z-X$ имеем

$Y + (Z -X)\equiv Z + Y\equiv0\mod V_{02}$, а тогда

$Z^3 + Y^3\equiv0\mod V_{02}$.


7. Из результатов п.5 и п.6 следует

$Z^3 + Y^3\equiv 0 \mod V_1$, а тогда очевидно

$ X^3 + Y^3-(Z^3 +Y^3) +Y^3\equiv 0 \mod V_1$, отсюда

$2Y^3\equiv 0\mod V_1$.

Пришли к противоречию, так как (Y, X) = (Y, U_1V_1) = 1.

2 случай ВТФ для $P=3$ [вариант, когда $(P,3)=3$] доказан.

[Руст]

Вы напишите вначале, что такое $U,V,U_i,V_i$. Без этого не хочется читать.

[vasili]

Уважаемый Руст! На этом форуме я неоднократно приводил формулы Абеля в обозначениях М.М.Постникова "Теорема Ферма" Наука 1978 г. Повторю еще раз для $P =3$.

$Z =UV$, $X=U_1V_1$, $Y =U_2V_2$,

$X + Y= U^3$ и $X + Y= U^3/3$ - для варианта, когда $(Z,3)=3$,

$Z-Y = U_1^3$ и $Z-Y = U_1^3/3$ - для варианта, когда $(X,3) =3$,

$Z-X = U_2^3$ и $Z-X = U_2^3/3$ - для варианта, когда $(Y,3) =3$.

$V^3 =X^2 -XY +Y^2$ и $V^3/3 =X^2 -XY +Y^2$ - для варианта, когда $(Z,3)=3$,

$V_1^3 =Z^2 +ZY +Y^2$ и $V_1^3/3 =Z^2 + ZY +Y^2$ - для варианта, когда $(X,3)=3$,

$V_2^3 =X^2 -XY +Y^2$ и $V_2^3/3 =Z^2 +ZX +X^2$ - для варианта, когда $(Y,3)=3$.

-- 23.12.2013, 18:10 --

В предыдущем сообщение опечатка, следует читать
$V^3 =X^2 -XY +Y^2$ и $3V^3 =X^2 -XY +Y^2$ - для варианта, когда $(Z,3)=3$,

$V_1^3 =X^2 -XY +Y^2$ и $3V_1^3 =X^2 -XY +Y^2$ - для варианта, когда $(X,3)=3$,

$V_2^3 =X^2 -XY +Y^2$ и $3V_2^3 =X^2 -XY +Y^2$ - для варианта, когда $(Y,3)=3$,

[venco]

vasili в сообщении #805036 писал(а):

с другой стороны

$16S^2 = 4h_1^2U_1^2V_1^2\engo (b)$.

Сравним полученные равенства по модулю $V_1$, так как из (b)

$16S^2\equiv 0\mod V_1$

С чего вы решили, что высота целая?

[vasili]

Уважаемый venco! Вы как всегда правы, высота не обязательно должна быть целой величиной. Тему можно считать закрытой.