Диффур, зависящий от параметров.

[Nakamura]

Сколько решений имеет дифф. уравнение в зависимости от a и n?
$y^{(n)}=2y^2-a^2x, y(1)=1, y'(1)=a.$

Случай $n=1$.
Из условия $y'(1)=a$ видим, что $a=2y^2-a^2, y=\sqrt \frac {a^2+a} {2}$. Значит, функция - константа и поскольку в одной точке равна 1, то и на всей прямой равна 1, решаем уравнение $1=\sqrt \frac {a^2+a} {2}$, находим $a=1, a=-2$ - значения при которых уравнение имеет единственное решение, при всех остальных a решений с данными начальными условиями нет.
Случай $n=2$.
Здесь уравнение всегда имеет единственное решение в силу теоремы существования и единственности.
Случаи $n\geqslant3$ для меня не ясны, поэтому прошу мне помочь.

[Someone]

А сколько начальных данных требуется для дифференциального уравнения порядка $n$?

[Nakamura]

Чтобы оно имело единнственное решение - $n$.