Формула Тейлора с членом Лагранжа

[Tookser]

Смотрю на такой вывод этой формулы:
Сначала доказывается обобщенная теорема Ролля.
Потом вводится дополнительная функция, равная разности между приближаемой функцией и полиномом (в котором коэффициенты неопределены) n-й степени . Затем записываем все производные данной функции до n-й включительно.
Затем говорится фраза "сделаем так, чтобы доп. функция удовлетворяла обобщенной теореме Ролля", т.е. все ее производные до n-1-й приравниваются $0$ в точке $a$. Находим все коэффициенты многочлена (кроме одного), а по теореме Ролля мы находим, что существует точка, через n-ю производную которой выражается n-й коэффициент.

Не совсем понял, что мешает приравнять нулю и n-ю производную доп. функции. Тогда получится другой член Лагранжа. Не могу найти ошибку и прошу помощи.

[Otta]

Сколько раз по условию дифференцируема основная функция?

[Tookser]

N.
Однако если сделать так, как я написал в последних строках, то N+1-я производная и теорема Ролля вообще не понадобятся.

[Otta]

Tookser в сообщении #804482 писал(а):

Однако если сделать так, как я написал в последних строках, то N+1-я производная и теорема Ролля вообще не понадобятся.

А давайте начнем с другого конца. Раз она вообще не надобится, то и не будем ею пользоваться. Раз не будем ею пользоваться, то с чего мы вдруг ринулись приравнивать какие-то коэффициенты. А? А вдруг они сроду не равны, вообще никогда?

[Tookser]

Да, я это понимаю, и понимаю, что теорема Ролля при $n$ исходных производных неприменима (т.к. основная функция дифференцируема лишь $n$ раз).
Просто я не понял последний переход. Почему мы получаем именно остаточный член, а не что-то еще в результате такой операции?

-- Вс дек 22, 2013 07:16:11 --

Otta в сообщении #804484 писал(а):

А давайте начнем с другого конца. Раз она вообще не надобится, то и не будем ею пользоваться. Раз не будем ею пользоваться, то с чего мы вдруг ринулись приравнивать какие-то коэффициенты. А? А вдруг они сроду не равны, вообще никогда?

У многочлена Тейлора должны совпадать производные в точке $a$ с исходной функцией. Поэтому мы и приравниваем нулю соответствующие производные, чтобы коэффициенты выражались через производные в точке $a$. В остаточном члене должна быть $n$-я производная в какой-то точке, и поэтому мы применяем обобщенную теорему Ролля.

[Otta]

Дело в том, что если функция не равна многочлену, то она, вообще-то, как-то от него отличается. Это самое "как-то" и называется остаточным членом. Мы решили посмотреть, как сильно $n$ раз дифференцируемая функция отличается от многочлена $n$-й степени. Для этого приравняем как можно большее количество производных (как выяснится, они однозначно определяют наш многочлен). Вы можете приравнять и последние, $n$-е производные. Так вы получите многочлен Тейлора $n$-й степени. Но не получите никакой информации о том, насколько сильно этот многочлен отличается от Вашей функции, т.е. как раз об остаточном члене. Поскольку Ваша дополнительная функция - это как раз и есть разница (разность) между самой функцией и некоторым многочленом, и хочется знать как сильно она отличается от нуля. Равна нулю она только если исходная функция - многочлен.

-- 22.12.2013, 08:20 --

Tookser в сообщении #804488 писал(а):

У многочлена Тейлора должны совпадать производные в точке $a$ с исходной функцией.

Если Вы заметили, теорема это доказывает, а не использует уже готовый результат. Иначе нет смысла в приравнивании. Многочлен изначально с неопределенными коэффициентами? не с производными вместо коэффициентов?